第6章 第3节 等比数列（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　等比数列 1．等比数列的有关概念 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列 通项公式 设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*) 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab 2.等比数列的前n项和公式 1．微点提醒 (1)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． (3)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (4)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． 2．等比数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. (2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (5)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． (6)若或则等比数列{an}递增；若或则等比数列{an}递减． 1．(人教A版选择性必修②P31·T3改编)在等比数列{an}中，a3＝1，a5·a9＝16，则a9＝(　 ) A．8 B．－8 C．16 D．－16 答案：A 2．(北师大版选择性必修②P29·T1(3)改编)已知1，，2，…为等比数列，当an＝8时，则正整数n＝(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：C 3．(人教B版选择性必修③P42·T3改编)记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若7S2＝3S3，则该数列的公比q＝(　 ) A. B． C．2 D．3 答案：C 4．(人教A版选择性必修②P37·T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案：1,3,9或9,3,1 5．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝________. 解析：因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32. 答案：32 考法一　等比数列基本量的运算(自主练通) 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 ) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即 解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C　根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒log2a4＝log226＝6.故选C. 3．(多选)已知正项等比数列{an}中a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则(　 ) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1<an＋2 解析：选ABD　因为a5－2a3＝a4，所以a1q4－2a1q2＝a1q3，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，所以q＝2，所以A正确；数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所以B正确；S10＝＝211－2＝2 046，所以C不正确；由an＝2n，得an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n，所以an＋an＋1<an＋2，所以D正确．故选A、B、D. 4．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝a2，则S4＝______. 解析：设等比数列{an}的公比为q，