第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第一节平面向量的概念及线性运算 教材梳理 >>>>>> 知识点1平面向量的有关概念 名称 定义 备注 既有大小又有方向的量；向量的大 向量 平面向量是自由向量， 小叫做向量的长度（或模） 零向量记作Q,其方向是 零向量 长度为0的向量. 任意的· 单位 长度等于1个单位长度的向量. 单位向量记作ao,a=±aal 向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量共线. (共线向量) 相等 相等向量一定是平行向量，平行 长度相等 且方向相同的向量. 向量 向量不一定是相等向量 相反 长度相等且方向相反的两个向 若a,b为相反向量，则a=一b 向量 量 知识点2 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 a+b (1)交换律：a十b=b+ 三角形法则 a; 加法 求两个向量和的运算. (2)结合律：(a+b)+c= 平行四边形法则 a+(b+9· 求a与b的相反向量一b 减法 的和的运算叫作a与b的 a-b=a+(-b). 差 三角形法则 (1)2a=2ad (1)结合律： (2)当>0时，a与a的方 入（μa)=4a= 求实数与向量a的积的 数乘 向相同； 4(2a; 运算. 当1<0时，a与a的方 (2)第一分配律：(1十)a 向相反； =1a十4a; 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当=0时，a=Q (3)第二分配律：(a十b) =a十2b 知识点3共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b=a。 [常用结论] 1.对于任意两个向量a,b,都有：①川a一bl≤a±bl≤a+b;②a+b2+a一b2=2 (a2+b2).当a,b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和 且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长 之间的关系 2.向量线性运算的常用结论 ①)在△4BC中，若D是BC的中点，则=12+) (2)O为△ABC的重心的充要条件为十十=0 ③)四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则+=2 3.三点共线的条件 A,B,C三点共线，O为A,B,C所在直线外任意一点，则=十4且十4=1 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)a与b是否相等与a,b的方向无关.() (②2)若a∥b,b∥c,则a∥c.() (3)向量与向量是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上.() (4)当两个非零向量a,b共线时，一定有b=a,反之成立.() [解析](2)若b=0,则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A,B,C,D四点不一定在一条直线 上 [答案](1)√(2)×(3)×(4)V 教材衍化 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(24-25高一下·湖南岳阳·期未)下列说法正确的是() A.若a=bl,则a=b B.零向量没有方向 C.相等向量的长度相等 D.共线向量是在同一条直线上的向量 [解析]由a=bl,不能得到a,b方向相同，所以a=b未必成立，故A错误；零向量 的方向是任意的，故B错误：根据相等向量的概念，C正确；共线向量是指方向相同或相反 的向量，故D错误.故选C [答案]C 3.设M为△ABC所在平面内一点，且=3，则() A.=-13+43 B.=13-43 C.=43+13 D.=43-13 [解析由=3，得=13，所以=+=+13=+13(+=-13 → 十43. [答案]A 考题体验 4.(24一25高一下.甘肃天水期末)在正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE=3EC, 记=a,=b,则=() A.-14a+b B.74a-b C.-13a+b D.53a-b [解析1在正方形ABCD中，=+，即--一，则=一+一=一-一十34 7=-一+34=-14+=-14a+b故选A ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]A 5.(2024盐城调研已知点0为△4BC的外接圆的圆心，且+一+一=0，则△4BC的 内角A等于() A.30 B.45 C.60° D.90° [解析]由++=0，得+一=一，又0为△4BC的外接圆的圆心，根据向量加 → 法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO=60°，因此∠CAB=30° [答案]A 典例精讲 >>>>>> [例1](24-25高一下·广东深圳期中)下列命题中，正确的是() A.若a∥b,则a与b方向相同或相反 B.若a⊥b,则a十b=la一b C.“a=b(1∈R)”是“a,b共线”的充要条件 D.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 [思路点拨]根据向量共线的定义可判定A;由向量数量积的性质及运算可判定B；由 向量共线的性质可判定C;由向量相等的定义可判定D [自主解答]当a=0或b=0时，有a∥b,但a与b方向相同或相反不一定成立，故A 错误；若a⊥b,则ab=0,则a十b2=la-b2=la+b,即la十bl=la一b,故B正确；由a =b(1∈R),可得a,b共线，若a≠0，b=0,则a∥b,但不存在实数，使得a=b,故“a =b(入∈R)”是“a,b共线”的充分不必要条件，故C错误：两个单位向量互相平行，它 们的方向可能相同也可能相反，则这两个单位向量不一定相等，故D错误.故选B [答案]B [解题心得](1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键。 (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (④)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象移 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 动混为一谈. [例2]如图所示，已知=a,=b,=c, =d,=e,=f,试用a、b、c、d 、e、f表示： (2+ (3) [思路点拨]可用向量的加法、减法直接求解. [自主解答1)-一==-一=4-6 ②+=_++=6-a-c+f 6)-一==+=-+f [解题心得]解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出 图形中的相等向量，或根据条件将向量平移，能熟练运用相反向量将加减法相互转化 [例3](24-25高一下.重庆巫山期末)设e,e2是两个不共线的向量，已知=2e1一8e2, =e+36e,=216 (I)求证：A,B,D三点共线； (2)若=3e1-ke,且∥，求实数k的值. [思路点拨](1)根据=入，即可得证： (2)利用共线向量定理即可求解. [自主解答](1)证明：由已知，得 ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 一=-=2e-e2）-a+3e=e4-46, 因为=2e1-8e2, 所以=2，又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线. (②)由(1)，知=e-4e2,若=3e1-ke2,且∥，可设=1（∈R, 所以3e1-ke2=(e1-4e2), 即(3-)e=(k-4)e2 又因为1，e2是两个不共线的向量， 所以3一1=0k一41=0)，解得k=12. [解题心得](1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能 表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想， (②)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，便应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线， 高考再现 >>>>>> 1.(山东卷)己知平行四边形ABCD,点E,F分别是AB,BC的中点（如图所示），设= a,=b,则等于() D B A.12(a+b) B.12(a-b) C.12(b-a D.12a+b [解析]连接AC,则AC为△ABC的中位线，.=12=12a十12b.故选A. …☑C B [答案]A 2.(2024新课标川卷)已知向量a,b满足1a=1,1a+2b=2,且(b-2d⊥b,则bl=() A.12 B.2)2 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.3)2 D.1 [分析]由(b-2a⊥b得b2=2ab,结合1a=1,a+2bl=2,得1+4ab+4b2=1+6b2= 4,由此即可得解. [解析]因为(b-2a⊥b,所以(b-2a)b=0,即b2=2ab,又因为1a=1,a+2b=2, 所以1+4ab+4b2=1+6b2=4,从而b=2)2.故选B [答案]B 3.(2025新高考1卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的 结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对 应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出 了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速 对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位(m/s),则真风为 () 等级 风速大小m/s 名称 2 1.13.3 轻风 3.45.4 微风 5.57.9 和风 8.0≈10.1 劲风 y 3 视风风速 2---- 船速 23 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 [解析]由题意及图得，视风风速对应的向量为n=(0,2)一(3,3)=（一3，一1）， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和 船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为1，船行风速对应的向量为2， .n=n1+2,船行风速：n2=-[3,3)-(2,0]=(-1,-3), ∴.n1=n-h2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2), n1=(-2)2+22=22≈2.828， .由表得，真风风速为轻风，故选A [答案]A 4.2025天津卷)△4BC中，D为4B边中点，=13，一=4，一=b,则 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (用a,b表示)，若=5，AE⊥CB,则= [解析]如图， 因为=13，所以-=13(-)，所以=13+23 因为D为线段AB的中点， 所以=16+23=16a十23b: 又因为I=5,AE⊥CB, 所以=alvs4alco10f123)b2=136a2+29ab+49b2=25, =\alvs4\al\col(f(123)b (a-b)=16a2+12a b-23b2=0,a2+3ab=4b2 所以a2+4ab=180, 所以. =\aWs4alcol(f(123)b-\alvs4\allcol(-b+yf(12)a)=112a2+16a-b-23b2= 112(a2+2ab-8b2)=112(a2+2ab-2a2-6ab)=112(-a2-4ab)=-15. [答案]16a+23b-15 5.(天津卷)在△ABC中，∠A=60°，|=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点， 若设=4，一=b,则可用a,b表示为 :若=13，则.的最大值为 [解析]在△4BC中，∠A=60,厂=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，一= 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a,=b,则=12(+)=14+12=14a+12b 设=x,=y,由余弦定理，可得1=2+y2-y,又2+y2>2y,即y≤1，当且 仅当x=y时取等号，又=13，则=+13=+13了-)=23+13=23a+13b ,则 =\alvs4\allcol(f(112)b\alvs4al\colAf(213)b=112X(2a2+5ab+2b2)= 112avs4 al\col1(2x2+2y2+f52y)=112×1aws4 allcol(f92y+2)≤112× aws4alco10f92)+2)=1324,即.的最大值为1324 [答案]14a+12b1324 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于点 O若=6一，则ABAC的值是 [解析]设=1=2(+) =+=+4=+- =(I-四+u=1-u3+u .f21-u32)=u,.1=f1214) ·.=12=14(+), =-○=-13+， 6.=6×14+xavs4 alco1(-f14B+)+) =32avs4 alcol(-f1AB2→)AB+)→)+) =-122+一+322， ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 =-12++2, 12=32,AB2+)AC2→)=3，ABAC=3 [答案]3 课时作业（二十四） 1.(24一25高一下·四川乐山期末)下列说法正确的是() A.若a,b为单位向量，则a=b B.若a,b为平行向量，则a=b C.若a=bl,则a=b D.若a=b,则a=bl [解析]由向量相等的概念可知a=b台d=bl且a,b方向相同.a,b为单位向量可得别 a=b,但a,b方向未必相同，故a=b未必成立，故A错误：a,b为平行向量，不能说明 a=bl,也不能说明a,b方向相同，所以不能说明a=b,故B错误；仅a=bl,不能说明a =b,故C错误；若a=b,则lal=bl正确，故D正确.故选D [答案]D 2.对于两个不共线的向量a和b,下列命题中正确的是() A.labla b B.a+bl≥la+lb C.若a和b同向，且ab,则a>b D.若a=bl,则向量a十b平分a和b的夹角 [解析]a和b是不共线的两个向量，故a和b均不是零向量，且〈a,b〉≠0和〈a,b 〉≠元，又ab=la bcos〈a,b〉，所以abl=lalbllcos〈a,b〉<abl,故A错误；不妨设 a,b是互相垂直的两个单位向量，则a十b=2<a十b=2,B错误：两个向量不能比较大小， C错误：由向量加法法则可知a十b是以a,b为邻边的平行四边形的对角线，如图，若a=| bl,则平行四边形变为菱形，故向量a十b平分a和b的夹角，D正确.故选D 6 a+b [答案]D 3.(24-25高二下福建福州·期末)已知向量a,b不共线，若a+b与2a一b共线，则 实数k的值是() 独家授权侵权必究