第6章 第5节 数列的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第五节　数列的综合问题 [典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋5n，数列{bn}满足b1＝8，bn＝64bn＋1. (1)证明{an}是等差数列； (2)是否存在常数a，b，使得对一切正整数n都有an＝logabn＋b成立．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：因为数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋5n，所以当n＝1时，a1＝S1＝3＋5＝8，当n≥2时，Sn－1＝3(n－1)2＋5(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝3n2＋5n－3(n－1)2－5(n－1)＝6n＋2，满足a1＝8，所以数列{an}的通项公式为an＝6n＋2，n∈N*，所以an＋1－an＝6(n＋1)＋2－6n－2＝6，n∈N*，所以{an}是等差数列． (2)因为bn＝64bn＋1，所以＝，所以数列{bn}是以8为首项，为公比的等比数列，所以bn＝8·n－1＝29－6n；所以logabn＝loga29－6n＝(9－6n)loga2，要使对一切正整数n都有an＝logabn＋b成立．即6n＋2＝(9－6n)loga2＋b，即6n＋2＝－6nloga2＋9loga2＋b，所以解得故存在常数a，b，当a＝，b＝11时，对一切正整数n都有an＝logabn＋b成立． [方法技巧] 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．　　 [针对训练] 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4　①.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16　②.联立①②解得a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)．所以n的值为4. [典例]　已知等比数列{an}为递增数列，a1＝1，a1＋2是a2与a3的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若项数为n的数列{bn}满足：bi＝bn＋1－i(i＝1,2,3，…，n)我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k－1(k≥2)项的“对称数列”，其中c1，c2，c3，…，cn是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于a4.记数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1，若S2k－1＝32，求k. [解]　(1)设数列{an}的公比为q，由题意知a2＋a3＝2(a1＋2)，所以q＋q2＝6，解得q＝2或q＝－3(舍)，所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)由题知ck＝a4＝8，c1，c2，c3，…，ck是以8为末项，2为公差的等差数列，所以ck＝c1＋2(k－1)＝8，解得c1＝10－2k，所以c1＋c2＋c3＋…＋ck＝＝k(9－k)，所以S2k－1＝c1＋c2＋…＋ck＋…＋c2k－1＝(c1＋c2＋…＋ck)＋(ck＋ck＋1＋…＋c2k－1)－ck＝2k(9－k)－8＝18k－2k2－8.所以32＝18k－2k2－8，即k2－9k＋20＝0，解得k＝4或k＝5. [针对训练] 已知数列{an}满足··…·＝. (1)求{an}的通项公式； (2)在ak和ak＋1，k∈N*中插入k个相同的数(－1)k＋1·k，构成一个新数列{bn}：a1,1，a2，－2，－2，a3,3,3,3，a4，…，ak＋1,求{bn}的前45项和S45. 解：(1)由··…·＝，当n＝1时，＝，解得a1＝2，当n≥2时，··…·＝，·…＝，所以＝，an－1＝an－1，即an－an－1＝1，所以{an}是以2为首项