第4章 第7节 正弦定理和余弦定理（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第七节　正弦定理和余弦定理 1．余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos_A； ＝＝＝2R b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (3) ＝＝2R 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． (1)在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：＝－. (2)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝. (6)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 1．(人教A版必修②P44·例6改编)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　 ) A. B．2 C. D.3 解析：选B　由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去)． 2．(人教A版必修②P47·例8改编)在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　 ) A．30° B．30°或150° C．60° D.60°或120° 解析：选A　由正弦定理得＝，解得sin A＝，因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°，故选A. 3．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　 ) A. B． C. D. 解析：选A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，解得AB＝3，所以 cos B＝＝，故选A. 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________. 解析：由三角形面积公式得×4×5sin C＝5， 即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝(舍负)． 答案： 5．在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，则△ABC的面积为________． 解析：利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍去)， △ABC的面积S＝bc·sin 60°＝×8×5×＝10. 答案：10 考法一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 角度1　正弦定理解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝45°，a＝，b＝，则C＝(　 ) A．60° B．75° C．60°或120° D.15°或75° (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________. [解析]　(1)因为在△ABC中，A＝45°，a＝，b＝，由正弦定理得＝，可得sin B＝＝＝，又由0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°，当B＝60°时，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°；当B＝120°时，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋120°)＝15°，故选D. (2)∵sin B＝且B∈(0，π)，∴B＝或B＝， 又∵C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝. 又a＝，由正弦定理得＝， 即＝，解得b＝1. [答案]　(1)D　(2)1 [方法技巧] 1．利用正弦定理解决的2类问题及其解题步骤 已知两角及一边，如A，B，a ①由A＋B＋C＝180°，求出C； ②根据正弦定理，得＝及＝，求出边b，c 已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A ①根据正弦定理＝计算出sin B，经讨论求B； ②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C； ③再根据正弦定理＝，求出边c 2.利用正弦定理解三角形的2个易误点 (1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍． (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，