第4章 第9节 解三角形的应用举例（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第九节　解三角形的应用举例 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)． (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 1.(人教A版必修②P50·例10改编)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　 ) A．30 m B．20 m　C．30 m D.20 m 解析：选D　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，由正弦定理＝可得＝，可得CB＝20×＝20 m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20 m. 2．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km. 解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1. 答案：－1 3.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m. 解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)． 答案：10(3－) 考法一　测量距离问题 [典例]　如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 (　 ) A．20 海里　　　　 B．40 海里 C．20(1＋)海里 D.40海里 [解题“微点”] 切入点 分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB即可 障碍点 提取各三角形中的条件，并综合利用这些三角形求解 [解析]　由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°， 在△ACD中，由正弦定理得＝，得AD＝20， 在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝40，在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝＝＝20，故选A. [答案]　A [方法技巧] 求解距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 [针对训练] 曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角α时，P和Q之间的距离是x cm，若OA＝3 cm，AP＝7 cm，α＝120°，则x的值是________． 解析：如图，在△APO中，由余弦定理可知49＝OP2＋9－2×3×OP×cos∠AOP，得OP＝5 cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ＝AP＋OA＝10 cm，所以PQ＝OQ－OP＝10－5＝5 cm. 答案：5 考法二　测量高度问题 [典例]　一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施MN的高度，选择点A和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高BC＝16 m，则MN＝(　 ) A．30 m B．28 m C．26 m D.24 m [解题“微点”] 切入点 在Rt△ABC中，可求得AC＝16 m，在△ACM中，可求得∠AMC＝45°，再由正弦定理可求得AM＝16 m，在Rt△ANM中，根据MN＝AM·sin 60°即可求得答案． 障碍点 把题目中解题的有效信息转化到一个三角形中，用于求解. [解析]　因为在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝16 m，所以AB＝16 m，AC＝16 m， 又因为在△ACM中，∠MCA＝60°，∠MAC＝