第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．掌握3个常用结论 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 2．平面向量基本定理的拓展 由平面向量基本定理，我们得到：n个不共线的向量e1，e2，…，en与n个实数λ1，λ2，…，λn所组成的向量λ1e1＋λ2e2＋…＋λnen，叫做向量的线性组合．当向量a是向量e1，e2，…，en的线性组合，即a＝λ1e1＋λ2e2＋…＋λnen时，我们称向量a可以分解成向量e1，e2，…，en的线性组合，其中{e1，e2，…，en}是关于向量a的一个基底． 3．向量坐标表示的两个注意点 (1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． 1．(人教A版必修②P29·例4改编)已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　 ) A．(1,2) B．(－1，－2) C．(－1,2) D.(1，－2) 答案：B 2.(人教B版必修②P154·例6改编)如图，＝2，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是(　 ) A．c＝b－a B．c＝a－b C．c＝2a－b D.c＝2b－a 答案：B 3．在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　 ) A. B．－ C．1 D.－1 解析：选A　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝. 4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 答案： 5．(湘教版必修②P29·T5改编)已知向量＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，若A，B，C三点共线，则实数t＝________. 解析：因为＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，所以＝－＝(2，－3)－(1，－2)＝(1，－1)，＝－＝(3，t)－(1，－2)＝(2，t＋2)，又A，B，C三点共线，所以向量与向量共线，所以t＋2＋2＝0，解得t＝－4. 答案：－4 考法一　平面向量基本定理及其应用 [典例]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　 ) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D.2m＋3n (2)在△ABC中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且AD＝3DB，BE＝BC，若＝x＋y，则x＋y＝(　 ) A. B．－ C．－ D. [解析]　(1)因为BD＝2DA，所以＝3， 所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n. (2)因为AD＝3DB，BE＝BC， 所以＝，＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝x＋y， 所以x＝－，y＝， 所以x＋y＝－＋＝. [答案]　(1)B　(2)A [方法技巧] (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　　 [针对训练] 1．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且＝2，＝3，记＝a，＝b，则＝(　 ) A．－a＋b B．a＋b C.a－b D.－a＋b 解析：选A　因为＝2，＝3，所以＝，＝， 因为在平行四边形ABC