第6章 第1节 第1课时 数列的概念与简单表示法（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第六章 | 数　列 第一节　数列的概念及通项公式 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 3．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 4．数列的性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an＋1＝an)． (2)周期性——若an＋k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． 1．(人教A版选择性必修②P9·T3(4)改编)数列，，，，…的一个通项公式为(　 ) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案：B 2．(人教B版选择性必修③P58·T1(4)改编)已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　 ) A．16 B．24 C．26 D．28 答案：C 3．(北师大版选择性必修②P8·T6改编)已知数列的通项公式是an＝n2－5n＋3，则数列{an}的最小项是第______项． 解析：an＝n2－5n＋3＝2－，∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，a2＝a3＝－3. 答案：2或3 4．(人教A版选择性必修②P8·T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，则an＝________. 答案：2n－1，n∈N* 5．(人教A版选择性必修②P8·T1(1)改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________. 答案：5n－4，n∈N* 第一课时　数列的概念与简单表示法 [典例]　(1)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝(　 ) A．5×6n B．5×6n＋1 C. D． (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2＋2an－6，则an＝________. [解析]　(1)当n＝1时，a2＝5S1＝5a1＝5，当n≥2时，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5(Sn－Sn－1)＝5an⇒an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以数列{an}从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以an＝ (2)当n＝1时，a1＝1＋2a1－6，则a1＝5；当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋2an－1－6，Sn－Sn－1＝an＝2an－1－2n＋1，设公差为d，则an－an－1＝d＝an－1－2n＋1，即5＋(n－2)d＝2n＋d－1，所以d＝2，所以an＝2n＋3. [答案]　(1)C　(2)2n＋3 [方法技巧] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．　　 3对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写如本例1. [针对训练] 1．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2 022＝(　 ) A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024 解析：选C　当n＝1时，a2＋2S1＝2＋1⇒a2＝1，当n≥2时，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，两式相减可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2，所以an＝1，可得Sn＝n，所以S2 022＝2 022.故选C. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－11n.若7<ak<10，则k＝(　 ) A．9 B．10 C．11