第6章 第2节 等差数列（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　等差数列 1．等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，即an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数) 通项公式 设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an＝a1＋(n－1)d 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b 2．等差数列的前n项和公式 已知条件 前n项和公式 a1，an，n Sn＝ a1，d，n Sn＝na1＋d 1．等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列． (6)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (7)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 2．微点提醒 (1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. (2)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． (3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 1．(人教A版选择性必修②P21·例6改编)等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于(　 ) A．－18 B．27 C．18 D．－27 解析：选B　S9＝＝＝＝27. 2．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于(　 ) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：选D　因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D. 3．(苏教版选择性必修①P132·例4(1)改编)已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________. 答案：－17 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋(a＋3)n＋a2－2a－3，则a＝________. 解析：因为等差数列前n项和Sn可表示为Sn＝An2＋Bn，所以a2－2a－3＝0，解得a＝3或－1. 答案：3或－1 5．(人教A版选择性必修②P24·T1(1)改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝3(a5＋3)，且a4＝－1，则{an}的公差d＝________. 解析：等差数列{an}中，S6＝3(a5＋3)，且a4＝－1，则解得d＝－2. 答案：－2 考法一　等差数列基本量的运算(自主练通) 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(　 ) A．18 B．16 C．14 D．12 解析：选C　设{an}的公差为d，依题意可得即 解得所以a10＝－4＋9×2＝14，故选C. 2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C　因为{an}为等差数列，a1＝1，a3＝5，所以公差d＝＝＝2，又Sn＝64，所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C. 3．(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝－18，a6＝－a3，则(　 ) A．an＝2n－9 B．an＝2n－7 C．Sn＝n2－8n D．Sn＝n2－6n 解析：选AC　因为a3＋S5＝6a3＝－18，所以a3＝－3.又a6＝3，所以a1＝－7，d＝2，则an＝2n－9，Sn＝n2－8n.故选A、C. 4．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________. 解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2. 答案：2 [一“点”就过] 解答等差数列运算问题的通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a