3.4 函数的应用(一)(含误区23)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 3.4函数的应用（一） 重点和难点 课标要求 1.掌握常见的几种函数模型. 重难点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找 2.用函数模型解决实际问题 到变量之间的关系 3.能依据条件选择合适的函数模型 门01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1常见的函数模型 般来说，常见的函数模型有以下几种： 卫刀记方法7 (1)一次函数模型：f(x)=x十b(k,b为常数，k≠0)， 建模时确定函数解析式的 [注意]正比例函数模型：f(x)=x(k为常数，≠0)是一 基本方法 方法一（待定系数法）：已 次函数的特殊情况. 知条件中给出了含参数的函数 (2)反比例函数模型：f(x)=(k为常数，k≠O). 解析式或根据已知条件可确定 函数模型，此种情形下应用待定 (3)二次函数模型：f(x)=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0). 系数法求出函数解析式中的相 (4)幂函数模型：f(x)=ax”+b(a,b,n为常数，a≠0，n≠1). 关参数（未知系数）的值就可以 (5)分段函数模型：这个模型实质是以上两种或多种模型的 确定函数的解析式 综合，因此应用也十分广泛 方法二（归纳法）：先让自 重难拓展 变量x取一些特殊值，计算出 重难点1解答函数应用题的基本思想 对应的函数值，从中发现规律， 再推广到一般情形，从而得到 从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、 函数的解析式 比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和 规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化， 找到有效的解题途径 构建数学模型，将实际生活问题抽象为 数学问题（如图所示）. 明确题意找出题设与结论的数学关 实际应 系一一数量关系或空间位置关系 分析、联想 用问题 转化、抽象 在分析、联想的基础 再转译成具体应 上转化为数学问题 用问题的结论 抽象构建一个或几 个数学模型来求解 解答数 给出数学问题的解答 学问题 建立数学模型 116 第三章 函教的概念与性质么超 例1某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，成 本价为25元，在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米 污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理， 并准备实施！ 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米 污水所用原料费为2元，每月排污设备损耗费为30000元. 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立 方米污水需付14元的排污费， 假设生产出的产品能全部销售出厂，问： (1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环 境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明. (2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决 策呢？ 解析设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为y1元，方案二 的利润为y2元 由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000, y2=(50-25)x-14×0.5.x=18x. (1)当x=3000时，y1=42000,y2=54000, y1<y2,∴应选择方案二处理污水。 (2)当x=6000时，y1=114000,y2=108000, y1>y2,应选择方案一处理污水. 02关建能力提升。一 题型方法 120 号h,所以0心≤号 1 题型1一次函数模型 因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm, 例②某列火车从北京西站开往石家庄， 所以火车行驶的总路程5与匀速行驶的时间之间的 全程277km.火车出发10min开出13km,之 后以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车 画数关系式为=13+120(0≤≤号)： 行驶的总路程s(单位：km)与匀速行驶的时间 离开免京2h时火车匀速行酸的时同为2一日 t(单位：h)之间的函数关系式，并求离开北京 11 2h时火车行驶的路程. 6 h,此时火车行驶的路程s=13+120X 6 =233km 点拨求出火车匀速行驶的总时间，可得定义 例3为了发展电信事业，方便用户，电信 域，再建立总路程关于时间的函数模型， 公司对移动电话采取不同的收费方式，其中所 解析因为火车匀速行驶的总时间为(277一13)÷ 使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每 117 重难点手细高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 月(30天)的通话时间x(单位：分钟)与通话费 题型2二次函数模型 用y(单位：元)的关系如图所示 例④已知甲、乙两个旅游景点之间有一 ↑y/元 ↑y/元 条5km的直线型水路，一艘游轮以xkm/h的 40t B(30,35) 0 速度航行时（考虑到航线安全要求，20≤x≤ 30 30 20 A(0,29) 20 10 10 C(30,15) 50),每小时使用的燃料费用为（品一）万元 010203040x/分钟 O10203040x/分钟 如意卡 便民卡 (2为常数，且≤®≤号》，其他费用为每小时 (1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间 x之间的函数解析式. 二万元 (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种 (1)若游轮以30km/h的速度航行时，每 卡便宜 小时使用的燃料费用为8万元，要使每小时的 点拨]由题图可获取以下信息：①通过图象得出 函数关系；②函数模型为一次函数模型；③可比较两 所有费用不超过品万元，求x的取值范围， 个函数的增长差异.解答本题可先用待定系数法求出 (2)求该游轮单程航行所需总费用的最 函数解析式，然后进行函数值大小的比较， 小值 [解析(1)由图象可设y1=k1x十29，y2-k2x, 解析(1)由题意知，x=30时，每小时使用的燃 把，点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+29, =x,得1=号k:=2 1 料费为30 =日解得0=日 1-号x+29x≥097xc≥0》. 1 此时海小时的所有童用为品日止品 化简得x2一41x+40≤0，解得1≤x≤40. (2)令头y即日x+29=,此时x=96 又.20≤x≤50，∴.20≤x≤40， 由此可知： .x的取值范围是[20,40]. (2)设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则 雪x=96时y1=y2,两种卡收费一样 y·-+2-+e0<0. 当<96号时>，使用使民卡使宜： 「117 当x>96号时，俊月“如意卡便宜 50’20 ◆变式1某公司租地建仓库，每月土地占 即y=5-+日 用费y1(单位：元)与仓库到车站的距离成反 后≤得对称：一合局 比，而每月库存货物的运费y2(单位：元)与仓 库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千 若<即品k< 米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万 元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小， 仓库应建在距离车站 千米处. 上单调递增、 118 第三章 函教的概念与性质么型 故当1会，即x=是时y取得装小位 ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变， 1-10k2 8 其中说法正确的序号是 .1 .1 解析由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=x (0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长，但速 则面数y=52-5:+日在品上单别 度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知，C没有变化，即 第三年后停产，所以②③正确、 递减， 答案②③. 故当t三。，即x=20时，y取得最小值，y ●变式3某家庭进行理财投资，根据长期 11-20k 收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收 80 益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的 综上所速，当<品时，接游轮单程航行所需 收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 总费用的最小值为1一！0k7 -万元； 1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和 0.5万元 当。≤号时，该游轮单程航行所需总费用的 (1)分别写出两类产品的收益与投资额 最小值为120万元. x(单位：万元)的函数关系式 80 (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理 ◆变式2渔场中鱼群的最大养殖量为m 财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大 (m>0),为了保证鱼群的生长空间，实际养殖 收益？最大收益是多少万元？ 量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼 题型4分段函数模型 群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲 例6如图是某地区一种产品30天的销售 率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正 图象，图1是产品日销售量y(单位：件)与时间 比，比例系数为k(k>0). t(单位：天)之间的函数关系，图2是一件产品 (1)写出y关于x的函数关系式，并指出 的销售利润之（单位：元）与时间t(单位：天)之 该函数的定义域 间的函数关系.已知日销售利润=日销售量× (2)求鱼群年增长量的最大值， 一件产品的销售利润，下列结论错误的是 题型3幂函数模型 ( ). 例⑤某工厂8年来某种产品的总产量C y/件 ↑x/元 与时间t(单位：年)的函数关系如图所示 25 200 C 150 100 5 2430t/天 2030t/天 8t/年 图1 图2 以下四种说法： A.第24天的销售量为200件 ①前三年产量增长的速度越来越快； B.第10天销售一件产品的利润是15元 ②前三年产量增长的速度越来越慢； C.第12天与第30天这两天的日销售利 119 重滩点手细高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 润相等 (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到 D.第30天的日销售利润是750元 最小？并求出最小值 [解析在图1中，t=24时，y=200,故A选项正 解析(1)由题意知C(0)=8,代入C(x)的关 确；根据图2，点(0,25)，(20,5)连线的中点坐标为 40 (10,15),故B选项正确；由图1知(0,100)，(24,200) 系式，得b=40,因此C(x)-3z十5(0区x≤10)，而每 的中点坐标为(12,150)，即第12天和第30天的日销 厘米厚的隔热层建造成本为6万元，所以隔热层建造 售量相同，根据图2，第12天的一件产品的利润高于 费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+ 第30天的一件产品的利润，即第12天与第30天这两 6x= 天的日销售利润不相等，故C选项错误；由图1知第 3x+5+6x(0≤x≤10). .800 30天销售150件，由图2知第30天一件产品的利润 (2)方法一令t=3x+5(0≤x≤10)，则5≤t≤ 为5元，故第30天日销售利润为150×5=750元，故 35,将f(x)变形得函数h()=800+2L-10(5≤4≤ D选项正确. 35).令5≤t1<t2≤35，则h(t1)-h(t2)=(t1- [答案C ◆变式4某商品在最近100天内的单价 w盟》 f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)= 当5≤t1<t2≤20时，h(t1)-h(t2)=(t1 E+22,0≤t<40,t∈N, 器 ）≥0 日销售量g(t) 当20<t1<t2≤35时，h(t1)-h(t2)=(t1 +52,40≤t≤100，t∈N. <0 与时间：的数关系是g)+ 0g》 所以h)=800+2:-10(5≤≤35)在区间[5， t (0≤t≤100，t∈N).求该商品的日销售额S(t) 20]上单调递减，在区间[20,35]上单调递增， 的最大值（日销售额=日销售量×单价）， 所以当t=20时，h(t)mm=70,即当t=3x+5= 题型5 “对勾”函数y=ax十模型 20,x=5时，f(x)mn=70. 例☑（经典·湖北卷）为了在夏季降温和 所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小， 冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙 为70万元 需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 800 6z+10+6+10- 方法三fx)3x十5十6x=1600 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 10≥2/1600-10=2×40-10=70，当且仅当6x+ 6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单 10=40,即x=5时取等号.故当隔热层修建5cm厚 位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关 时，总费用达到最小，为70万元， 系：C)3年50≤x≤10.若不建隔热层， ●变式5（经典·福建卷）要制作一个容 每年的能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔 积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知 热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. 该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造 (1)求k的值及f(x)的表达式， 价是每平方米10元，则该容器的最低总造价 120 第三章函数的概念与性质么出 是 (单位：元) 边形EFGH的面积最大？并求出最大面积， 易错警示 ●易错题23（错误率28%）如图所示， 在矩形ABCD中，已知AB=a,BC=b(b< a),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE, AH,CG,CF都等于x,则当x为何值时，四 参考答案见《全书易错题集》第6页 03一核心泰养聚焦。一 考向分类 [解析在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水排 考向1图表型实际应用问题 放量的图象下降得比乙企业快，所以在这段时间内， 例8（经典·北京卷）为满足人民对美好 甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；在t2时 刻，虽然两个图象相交，但是甲的图象在这点的斜率 生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水 的绝对值大于乙的图象在这，点的斜率的绝对值，所以 治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业 在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正 的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t), 确；在t3时刻，两家企业的污水排放量都小于污水达 用-f6）-fa)的大小评价在[a,b]这段时 标排放量，所以在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量 b-a 都已达标，③正确；在[0，t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段 间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期 时间中，甲企业污水排放量的图象在[0，t1]这段时间 内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系 内最“平缓”，说明污水治理能力最差，④错误 如图所示 答案①②③. W个甲企业 例⑨（经典·全国I卷）某地区经过一年 的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍， 乙企业： 乙企业 实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收 污水达标排放量 甲企业 入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农 村的经济收入构成比例，得到如下所示饼状图. 给出下列四个结论： ①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治 60 第三产业收入 种植收入 60% 其他收入 理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙 30% 养殖收入 企业强； 建设前经济收入构成比例 ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量 第三产业收入 都已达标； 28% 种植收入 5% 其他收入 ④甲企业在[0，t1],[t1,t2],[t2,t3]这三 37% 30% 段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强， 养殖收入 其中所有正确结论的序号是 建设后经济收入构成比例 121 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 则下列结论中不正确的是(). 10=130(元). A.新农村建设后，种植收入减少 (2)设李明每笔订单的原价为t元，则促销后每笔 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍 订单得到的金额为(t一x)×80%. 以上 由题意得(t-x)X80%≥0.7t, C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 ..(t-x)X0.80.7t, D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收 080,1,即x≤g 入的总和超过了经济收人的一半 解析设建设前总经济收入为a,建设后总经济 要达到促销条件≥120，且x≤日总成立，故当 收入为2a,种植收入由a·60%变为2a·37%,是增 加而不是减少了，故A不正确；其他收入由a·4%变 1=120时，z取得最大位，最大位为日×120=15， 为2a·5%,增加了一倍以上，B正确；养殖收入由a· 答案(1)130.(2)15. 30%变为2a·30%,增加了一倍，C正确；养殖收入与第 例1工（经典·北京卷）加工爆米花时，爆 三产业收入为总收入的30%+28%=58%>50%， 开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为 D正确. “可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加 [答案A 工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2十 教材P96习题3.4的第4题、P101复习参 bt十c(a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的 回归教材 考题3的第11题 数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度 ★★ 到最佳加工时间为( 核心素养 数据分析、数学建模 素养水平水平二 0.8---------- 考向2函数模型的实际应用 0.7 例10（经典·北京卷）李明自主创业，在 0.5 网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、 5 t/分钟 80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四 A.3.50分钟 B.3.75分钟 种水果进行促销：一次性购买水果的总价达到 C.4.00分钟 D.4.25分钟 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支 解析由实验数据和函数模型知，二次函数力= 付成功后，李明会得到支付款的80%： at2+bt+c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)， (1)当x=10中，顾客一次性购买草莓和 分别代入解析式得 西瓜各1盒，需要支付 元 0.7=9a+3b+c, a=-0.2, (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单 0.8=16a+4b+c,解得b=1.5, 得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 0.5=25a+5b+c, c=-2. 的最大值为 所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t- 解析(1)根据题意知，1盒草莓的价格为60元， 3.75)2+0.8125, 1盒西瓜的价格为80元，共60+80=140（元）> 所以当t=3.75分钟时，可食用率p最大 120(元)，.少付x=10元，故顾客需要支付140- 答案B 122 第三章 函敬的概念与性质么出型 加油时的 回归教材教材P94例2和P96习题3.4的第4题 加油时间 加油量/L 累计里程/km 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度 ★★ 2015年5月1日 12 35000 核心素养 数学建模、数据分析 素养水平水平二 2015年5月15日 48 35600 真题演练 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的 1.(1)(经典·北京卷，考向1)汽车的“燃 路程 油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程. 在这段时间内，该车每100km的平均耗 如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下 油量为( 的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( A.6L B.8L C.10L D.12 L 燃油效率/(km/L) 2.(经典·江苏卷，考向2)如图，建立平面 15 直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直 甲车 10 于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标 乙车 丙车 原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx一 40 80速度/km/h) 2(>0)表示的曲线上， A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km 发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲 坐标 车消耗汽油最多 (1)求炮的最大射程. C.甲车以80km/h的速度行驶1h,消耗 (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大 10L汽油 小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 D.某城市机动车最高限速80km/h,相同 α不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明 条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 理由. (2)(经典·北京卷，考向1)某辆汽车每次 y/千米 加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次 加油时的情况： x/千米 123当a≠0时，因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2十2la+1, 显然，f(-a)≠士f(a), 故此函数既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时， f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 易错探因本题易忽略参数α的不确定性，从而得到如 下错解： 因为x∈R,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+ |x+a|+1≠土f(x), 故此函数既不是奇函数也不是偶函数 误区22未对底数进行分类讨论 易错题22（错误率44%）若(a十1)言<(3一2a)音，试 求实数a的取值范围. 正解(a+1)寸<（3-2a)音， a+1>0, a+1<0, 3-2a>0, .3-2a>0,或3-2a<0,或{ a+1<0, a+1>3-2aa+1>3-2a 解得号<a<号或a<-1 故实数a的取值范围为(-©，-1DU(号，) 易错探因本题易产生如下错解： a+D<8-2a),∴a+1>3-2a,唧a> 3 故实数a的取值范围为（号，十∞）】 事实上，由函数y=x3的奇偶性可知，此函数的单调 递减区间有两个，即（一∞，0）和(0，十∞)，而并非在整 个定义域上单调递减.为了避免错误，应对底数进行分 类讨论。 误区23忽略实际问题中函数的定义域 易错题23（错误率28%）如图所示，在矩形ABCD中， 6 已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分 别截取AE,AH,CG,CF都等于x,则当x为何值时， 四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积. D A E 正解设四边形E℉GH的面积为S,则 SASAG 1 S△E=S△cH=2(a-x)6-x), s=ab-2[2r+2a-x6-✉]， 即s=-2x+a+bz=-2(k-a）°+a, 8 由图形可知此函数的定义域为{x0<x≤b). :0<b<a,∴0<b<atb 21 若a+也≤b,即a≤36， 4 则当-士中时S取得最大值，且S二a 8 若士中>6，即a>动，则S(x)在(0,6上是增函数。 则当x=b时，S取得最大值，且Smx=ab-b2. 综上所述，当aC动，2-时，四边形EGH的面 积最大，且S-atb), 8 当a>3b,x=b时，四边形EFGH的面积最大，且 Smx-ab-b2. 易错探因本题易忽略函数的定义域从而得到错误答 案：当z-士时，S有最大值最大值为号a+6a,2√a+2<1, 即a+2<分，0<g<2: m=g2-g-1-(Q-2)》°-号在[0，]上单调递 诚，当g=0时m=-1,当g=合时，n=-号， .5 所以，实数n的取值范围为（是，一] 3.4函数的应用（一） 变式训练答案 [变式1]5.提示：设仓库与车站的距离为x千米， 由题意可设y=:, y2=k2x, 把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入上式，得 k1=20,k2=0.8,放y1=20 y2=0.8x, 这两项费用之和y=y+y=0.8z+20≥ x 2/0.8xx20 =8, 当且仅当0.8x=20,即x=5时等号成立， x 故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 5千米处 [变式2】(1)根据题意知，空闲率是”m,故y关于x 的函数关系式是y=kx.m二，0≤<m 2电a咖x·-点+w=点气安)” m mk 0心<m,则当z受时y取得最大值yam 所以鱼群年增长量的最大值为”， [变式3](1)设两类产品的收益与投资额x的函数关 系式分别为f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2W元(x≥0)， 结合已知得f(1)=8=k1g(1)=2=k2, 所以fx)=日x(e≥0，gx）)=2丘（≥0. (2)设投资稳健型产品的金额为x万元，则投资风险型 产品的金额为(20一x)万元，依题意知获得的收益为 y=fx)+g20-x)=营+号V2070<≤20. 令t=√20-x(0≤t≤25)，则x=20-t2, 48 所以-20g+号-2+8 所以当t=2,即x=16时，y取得最大值，ymmx=3. 故当投资稳健型产品的金额16万元，风险型产品的 金额4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是 3万元 [变式4]由已知单价 {在+22(0≤t<40,t∈N0, f(t)= +52(40≤t≤100，teND, 2 日销售量g(t)= 号+0S≤10,4∈0， 1 3 .日销售额为S(t)=f(t)g(t), 即当0<0时，5)-（会+2）(+号) 1212+26+2464 1 3 此时函数的对称轴为t=12, 最大值为S(12)=2500 35 当40≤≤100时，s)=(-+52)×(-3:+ 号)=后一3+5，此时函数的对称轴为 t=108>100,最大值为S(40)=768. 由768<2500可得这种商品日销售额S()的最大值 3 为2500 3 [变式5]160.提示：由题意知，长方体的底面积为4m, 设该长方体容器的长为xm,则宽为m 设该容器的总造价为y元， 则y=20×4+2(x+4)×10, 即y=80+20(e+)u>0. 方法一 因为函数g(x)=x+1在区间(0,2]上单调 递减，在区间[2，十∞)上单调递增，所以g(x)血 g(2)=4,所以ym=80+20×4=160(元). 方法=80+20(+1)≥0+20×2,2·是 160,当且仅当x2=4,即x=2时取等号，所以最低总 造价为160元. 真题演练答案 1.(1)D(2)B提示：(1)对于A,从题图中可以看出当 乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于 5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于 5km,所以A错误. 对于B,由题图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误 对于C,甲车以80k/h的速度行驶时的燃油效率为 10km/L,故行驶1h的路程为80km,消耗8L汽油， 所以C错误 对于D,当最高限速为80km/h且速度相同时，丙车的 燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更 省油，所以D正确， (2)因为第一次（即5月1日）把油加满，而第二次把油 加满加了48L,即汽车行驶35600一35000=600(km) 耗油48L,所以每100km的平均耗油量为8L. 2①冷y=0,得虹01+)x2=0, 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 故x一1十k2 20k20 1 k十 由k+名≥2，当且仅当k=1时等号成立可知x<10, 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以若炮弹可击中目标， 1 则存在k>0,使3.2=ka一201+k)a2成立， 即关于k的方程a22-20ak十a2十64=0有正根. 设f(k)=a2k2-20ak十a2+64, 则此函数图象的对称轴为直线k=一二204=10 2a2 a 因为a>0,所以k=10>0, 故只需判别式△=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0， 结合a>0得0<a≤6. 所以当a不超过6时可击中目标. 练习册答案 A学考过关练 1.A提示：当销售量为4台时，该公司盈利0万元，故A 错误：当销售量多于4台时，该公司才开始盈利，故B 正确；当销售量为2台时，该公司亏本1万元，故C正 确；当销售量为6台时，该公司盈利1万元，故D正确. 2.A提示：由题意，h=一3.6t2十28.8t=一3.6(t-8t+ 16)十57.6=一3.6(t一4)2十57.6，则当t=4时，烟花 达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒. 3.A提示：由题可知，加密密钥为y=kx3,由已知可得 当=4时y=2,所以2=6X,解得及=号=克放 y动，显然令y=即品动，解得 合即x片 1 4.B提示：设初始状态为(x1,y1),则x2=16x1,y2= 4y1,又y1=kxi,y2=kx,即4y1=k(16x1)°=k· 16z,_15,16=4a=2 1 y1 kxg 5.1790元.提示：王某月应纳税所得额（含税）为：30000 -6000-5000一1000-2000=16000（元）， 不超过3000的部分税额为3000×3%=90（元）， 超过3000元至12000元的部分税额为9000×10% =900(元)， 超过12000元至25000元的部分税额为4000×20% =800(元)， 所以王某月应缴纳的个税金额为90十900十800= 1790(元). 6a当0<x≤1时y=专15-言5=1： 1 当1x<12时y=年15-(1-4)k…5 60x-5.x2 x十49 1 3 当x≥12时，y=4x15-4x5=0. 11x,0<x≤1， 综上所述，y= 60x-5x x+4 ,1<x<12, (0,x≥12， (2)当0<x≤1时，ymax=11; 当1<x<12时，令t=x+4∈(5,16)，则y= 5=+20-6④-5[-(+6的)+20≤20，此时取 t 等条件为t=8,即x=4, 因为11<20，所以当日产量为4万件时，该厂每天的利 润达到最大。 B高考提能练 1.C提示：设该户居民去年的用气量为xm3,缴纳的燃 气费为y元，则当0≤x≤200时，y=3.2x,令3.2x= 868,解得x=271.25,不符合题意；当200<x≤300 时，y=3.2X200+3.8×(x-200)=3.8x-120,令3. 8x-120=868,解得x=260,符合题意；当x>300时， y=3.2×200+3.8×(300-200)+4.8×(x-300)=4.8x 49