第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

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1．同角三角函数的基本关系式

2.诱导公式

同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(2)sin α＝tan αcos αα≠＋kπ，k∈Z.

(3)sin2α＝＝；

cos2α＝＝.

1．(人教A版必修①P189·例1改编)sin 1 665°的值为(　 )

A．－　 B．　　C．－　　D.

答案：A

2．(人教A版必修①P184·T1改编)已知cos α＝－，且α为第三象限角，则sin α＝(　 )

A.  B．－ 

C．－  D.

答案：C

3．(北师大版必修②P149·例5改编)已知tan α＝3，则＝________.

解析：∵tan α＝3，∴＝＝＝2.

答案：2

4．(人教B版必修③P33·例7改编)已知sin α＝，则＝________.

解析：原式＝＝sin α＝.

答案：

5．(苏教版必修①P185·例6改编)已知tan α＝，α∈，则cos α的值是________．

解析：由tan α＝，可得＝，又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，因为α∈，所以cos α＝－.

答案：－

考法一　同角三角函数基本关系及其应用

角度1　“弦”“切”互化

[例1]　(1)已知0<α<π，sin α＝，则tan α＝(　 )

A．±  B． 

C．－  D.±

(2)已知tan θ＝，则＝(　 )

A．6  B． 

C.  D.2

[解析]　(1)因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝1－＝，又因为0<α<π，所以cos α＝±，则tan α＝＝±.

(2)＝

＝

＝＝＝＝.

[答案]　(1)A　(2)C

[方法技巧]

同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值．因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．　　

角度2　“和”“积”转换

[例2]　已知sin α＋cos α＝－.

(1)求sin αcos α的值；

(2)若<α<π，求－的值．