专题1 用空间向量法解决轨速问题-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章空间向量与立体几何通 专题1用空间向量法解决轨迹问题 用空间向量法解决轨迹问题，核心思路就 是用向量表示点的坐标，然后根据题目的几何 条件列出方程，最后通过消元得到轨迹方程. 可以分为以下几个步骤： 1.建立坐标系.根据几何体的特点，建立 一个合适的空间直角坐标系 则D(0,0,2),B(√2，√2，√2)，C(0,√2,0)， 2.设点并表示向量 A(2,0,0),0但，22) 3.根据几何条件列方程.把题目中的几何 2’2,2 条件，比如“垂直”“平行”“距离为定值”“夹角 所以O店=（ 》成-(-要， 为定值”等，翻译成向量语言，列出方程 4.化简方程得到轨迹.将列出的方程进行 号)，0=(-20，-2. 整理和化简，消去参数后，得到关于x,y,之的 o=√++-， 关系式，这个关系式就是点P的轨迹方程. 5.判断轨迹形状.根据得到的方程，判断 =++(--, 轨迹的形状.若方程是一次的，轨迹可能是直 BC1=√(-√2)+(-√2)=2， 线或平面. 例①已知边长为2的正四面体A-BCD 所以cos∠BOC= OB12+OC12-|BC12 20BOC 的内切球（球面与四面体四个面都相切的球） +- (余弦定理) 的球心为O,若空间中的动点P满足OP= 1 3 xOC+yOB+xOD,x,y,x∈[0,1]，则点P的 2x× 轨迹所形成的几何体的体积为( 所以sin∠B0C=√1-cos∠B0C=2 3 A.√2 C.23 D 3 所以以QC,|OB为邻边的平行四边形的面积为 解析空间中的动，点P满足OP=xOC+yOB+ s-2x2101s00-(×29-2， 3 zOD,x,y,x∈[0,1]， 设平面BOC的法向量为n=(x,y,之)， 则，点P的轨迹是以OC引，OB,OD为邻边的 n…OB=2+巨2 平行六面体，将正四面体A-BCD放入如图所示的正 2x+2y+2=0, 方体A1BC1D-AB,CD1中，则正四面体A-BCD的 n成-号号图 内切球的球心O为正方体的中心」 2y-2=0, 取x=1,可得y=0,之=-1，所以n=(1,0,-1). 设正方体的棱长为a,所以a2=2,解得a=√2. 因为DB=(W2,W2,0), 以D1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系 所以点D到平面BOC的距离d=n·DB n 35 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 21， 而37 2 22,故A正确 所以以|OC引，|OB|,|OD|为邻边的平行六面 如图4，过点P作PE⊥DD1于点E,连接EM, 体的体积为V=Sd=√2X1=√2 则E为DD1的中点，PE=1且PE⊥平面ADD1A1, 答案A EMC平面ADD1A1,所以PE⊥EM.由|PM|=√2知 例②（多选）如图1，若正方体的 EM=√PM2-PE2=1,故，点M在平面ADD1A1上 棱长为1，点M是正方体ABCD- 的轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，故点M在侧 A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个 面运动路径的长为2π义1三灭，故B正确。 6 动点（含边界），P是棱CC1的中点，则下列结 单2 D 论正确的是(). A.沿正方体的表面从 D E D M 点A到点P的最短路程为 A B C 13 B 2 D 图4 图5 B.若保持|PM=√2， B 图1 如图5，连接C1B,C1D,BD,MD,MB,MC1,则 则点M在侧面内运动路径的长度为 BD=CD=C,B=E,所以SAx= =军X(W2)= C.三棱锥B-C,MD的体积最大值为后 √3 以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直 D.若点M在平面ADD1A1内运动，且 线为x轴、y轴、之轴建立如图5所示空间直角坐标 ∠MD1B=∠B1D1B,则点M的轨迹为线段 系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1).设M(m,0, 解析将面ABB1A1与面BCC1B1展开到同一平 n)(0≤m≤1,0≤n≤1)，设平面C1BD的法向量为 n·DB=x+y=0, 面内，连接AP,如图2，此时AP 1+1+() n=(x,y,之)，则 n.DCi=y+x=0 令y=1,可得 √17 n=（-1,1,-1).设M(m,0,n)到平面C1BD的距 2 B 离为h,则h= DM·n=-m-n=mtn,故 n √/1+1+1 当m=1,m=1时，h取得最大值为2-23 33 (此时三棱锥B-C,MD的体积最大》 图2 也可将面ABCD与面CDD1C1展开到同一平面 故V,eo=VGm写×竖×2-号 2 3 3,故C 内，连接AP,如图3，此时AP=++ 错误。 因为os∠B,D,B=BD-6 √13 DB53’ 2 B C 所以os∠MD,B= 3· 如图6，连接MD1,MB,因为M(m,0,n)(0≤ m≤1,0≤n≤1)，所以MD1=√m2+(n-1)2,MB= D 图3 √(m-1)2+1+n2,cos∠MD,B= MD+BD片-MB2 2MD1·BD 36 第一章空间向量与立体几何辑 2m-2m+2 .EF∩D1F=F, 8化简(m+n-1)=0,所 23×√m2+(n-1)2 .平面A1PD∥平面D1EF,则点Q的轨迹为线 以m+n一1=0且m,n∈[0,1]，则，点M的轨迹是线 段EF,故A正确 段，故D正确. 如图2，建立空间直角坐标系， 则A11,0,0,P1,1,2),D0,0,1D, 设Q(x,1,z),0≤x≤1,0≤之≤1， 则AD=(-1,0,1),A1P=(0,1,),DQ (x,1,z). B 设m=(a,b,c)为平面A1PD的法向量， 图6 答案ABD m·A1D=0, -a十c=0,a=c, 即 例③（多选）如图1，在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点， 取c=1,则m=(1,-,1月 Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），则下 列说法中正确的是(). 若D1Q⊥平面A1PD,则D1Q∥m,即存在λ∈ x=入， A.若D1Q∥平面A1PD,则动点Q的轨 迹是一条线段 R,使得D1Q=m,则1= 2,解得x=2=-2E B.存在点Q,使得D1Q⊥平面A1PD 之=λ， C.当且仅当点Q落在棱CC1上某点处 [0,1],故不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD,故B 时，三棱锥Q-A1PD的体积最大 错误. :△APD的面积为定值，.当且仅当，点Q到 D,若D,Q9那么点Q的轨迹长度为 平面A1PD的距离d最大时，三棱锥Q-A1PD的体 积最大 √2 40 d A1Q·m2 m ①x十≤名d=1-号c十，则当x十=0 3 时，d有最大值1； ②x十>号d=号z+)-1,则当x十=2 时山有装大位号 图1 图2 综上所述，当x十之=0，即点Q和，点C1重合时， 解析如图2，取B1C1,C1C的中点E,F,连接 三棱锥QA1PD的体积最大，故C正确. D E,D F,EF,PF, D1C1⊥平面BBC1C,.D1C1⊥CQ, 由PF∥BC1∥A,D1且PF=BC1=A1D1得 D:Q-/D:C:+CQ_6 2 CQ= 2,则 A1PFD1是平行四边形， ∴.DF∥A1P. 点Q的统蓬是辛轻为号，圆心角为受的画孤，执连长 ,DF寸平面A1PD,A1PC平面APD, ∴.D1F∥平面A1PD, 度为 ,故D正确 同理可得EF∥平面A1PD. 答案ACD 37