第4章 第5节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性　　　

1．下列函数在区间上为减函数，且为奇函数的是(　 )

A．y＝sin x  B．y＝sin 2x

C．y＝cos x  D.y＝cos 2x

解析：选B　由函数为奇函数，可得C、D错误；因为函数y＝sin x在上单调递增，且x∈，2x∈，易知函数y＝sin 2x在上单调递减，故A错误，B正确．

2．设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)是偶函数，则φ等于(　 )

A．－  B．－  C．－  D.－

解析：选A　由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos，∵函数g(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ，k∈Z.又－π<φ<0，∴φ＝－.故选A.

3．已知f(x)cos x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是(　 )

A．cos 2x  B．cos x 

C．sin 2x  D.sin x

解析：选D　令g(x)＝f(x)cos x，对于A，g(x)＝cos 2xcos x，g(－x)＝cos(－2x)cos(－x)＝cos 2xcos x＝g(x)，∴g(x)为偶函数，A错误；对于B，g(x)＝cos2x，g(－x)＝cos2(－x)＝cos2x＝g(x)，∴g(x)为偶函数，B错误；对于C，g(x)＝sin 2xcos x，g(x＋π)＝sin(2x＋2π)cos(x＋π)＝－sin 2xcos x＝－g(x)，∴π不是g(x)的周期，C错误；对于D，g(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数；又g(x)＝sin 2x的最小正周期T＝＝π，∴f(x)＝sin x满足题意，D正确．

4．函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　 )

A.  B．  C.  D.

解析：选C　因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin是偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.

[一“点”就过]

判断三角函数奇偶性的方法

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　　

[典例]　(1)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则正整数k的值为________．

(2)(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．

[解析]　(1)由题意知1<<2，即<k<π.

又因为k∈N*，所以k＝2或k＝3.

(2)因为T＝，f＝，所以cos(2π＋φ)＝，即cos φ＝.又0<φ<π，所以φ＝.因为x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝9k＋3(k∈Z)．又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.

[答案]　(1)2或3　(2)3

[方法技巧]

1．三角函数最小正周期的求解方法

(1)定义法．

(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.

(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．