第2章 第11节 函数零点的应用（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第十一节　函数零点的应用 考法一　根据函数零点范围求参数的范围 [典例]　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是(　 ) A．(7，＋∞) 　 B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) 　 D．(－1,7) (2)已知关于x的方程ax＋6＝2x在区间(1,2)内有解，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－4，－1) B．[－4，－1] C. D． [解析]　(1)∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，∴只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1<a<7. (2)根据题意可得ax＝2x－6，故转化为函数y＝ax和y＝2x－6的图象的交点，如图所示，易知y＝2x－6的图象的两个端点为(1，－4)和(2，－2)，当y＝ax过点(1，－4)时a＝－4，当y＝ax过点(2，－2)时a＝－1，所以a的取值范围是(－4，－1)． [答案]　(1)D　(2)A [方法技巧]　由函数零点个数或所在区间求参数的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离参数法 先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解 [针对训练] 1．若f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－1,1)，则实数a的取值范围为(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　因为f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－1,1)，又函数f(x)＝x＋2x＋a在R上单调递增，则需f(－1)·f(1)<0，即·(a＋1＋2)<0，解得－3<a<. 2．已知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，则实数b的取值范围是________． 解析：∵y1＝2x＋b在R上单调递增，y2＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝2x＋log2x＋b在(0，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝2x＋log2x＋b在区间，4上有零点，∴f<0，f(4)>0，即1－1＋b<0,8＋2＋b>0，得－10<b<0.故实数b的取值范围是(－10,0)． 答案：(－10,0) 考法二　根据函数零点的个数求参数范围 [典例]　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　 ) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C. [答案]　C [方法技巧]　根据函数零点的个数求参数的范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，把函数零点的个数问题转化为函数图象的交点个数求解 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是(　 ) A．(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－2,0) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：选B　结合f(x)的图象，分情况讨论，当m>0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则⇒0<m<2；当m<0时，要使f(x)＝b有三个不同的根，则⇒m<－2；当m＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)． 2．已知函数f(x)＝|1－x2|＋a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：函数y＝f(x)有四个零点，即y＝－a与y＝|1－x2|有四个交点，作出函数y＝|1－x2|的图象如图，由图可知0<－a<1，即－1<a<0. 答案：(－1,0) 考法三　函数零点的和、积问题 [典例]　(多选)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　 ) A．x1＋x2＝2 　 B．x3x4＝1 C．0<x1＋x