第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三章 | 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ 几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义，是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0) 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3．导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． 4．复合函数的定义和导数 定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 导数 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x (1)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))′是函数值f(x0)的导数且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． (4)①注意′≠. ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. (5)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (6)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． (7)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 1．(北师大版选择性必修②P66·T1改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　 ) A．0 B．e C. D. 答案：D 2．(人教A版选择性必修②P81·T1改编)(多选)下列导数的运算正确的是(　 ) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 答案：ABD 3．(人教A版选择性必修②P81·T3改编)已知函数f(x)＝x(2 022＋ln x)，若f′(x0)＝2 023，则x0等于(　 ) A．e2 B．1 C．ln 2 D.e 答案：B 4．(人教A版选择性必修②P82·T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1,2)处的切线平行，则a＝(　 ) A．1 B．2 C．e D.2e 解析：选D　由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为k＝2e.由y＝aln x＋2，得y′＝，所以该曲线在点(1,2)处的切线斜率为k＝a.因为两切线平行，所以a＝2e. 5．(人教B版选择性必修③P81·T2改编)曲线y＝cos x－在点(0,1)处的切线方程为________． 答案：x＋2y－2＝0 考法一　导数的运算(自主练通) 1．(多选)下列结论正确的是(　 ) A．若y＝cos，则y′＝sin B．若y＝ln，则y′＝ C．若y＝，则y′＝ D．若y＝x2 022＋log2x，则y′＝2 022x2 021＋ 解析：选ABD　对于A，y′＝－sin·′＝sin，A正确；对于B，y′＝··(1＋2x)′＝，B正确；对于C，y＝＝，y′＝＝－，C错误；对于D，y′＝2 022x2 021＋，D正确． 2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1