第3章 第3节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　导数与函数的极值、最值

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1．函数的极值与导数

2．函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．函数极值与最值的区别与联系

(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)．

(2)极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大．

(3)有极值的函数一定不是单调函数．

(4)f′(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点．

1．(湘教版选择性必修②P41·T3改编)(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　 )

A．在区间(2,4)内单调递减  B．在区间(2,3)内单调递增

C．x＝－3是极小值点  D.x＝4是极大值点

答案：BD

2．(人教A版选择性必修②P91·例5改编)函数f(x)＝的极大值为(　 )

A．－e  B．  C．1  D.0

答案：B

3．(人教B版选择性必修③P102·T2改编)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　 )

A．2  B．  C．－2  D.－

解析：选B　由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意．

4．(苏教版选择性必修①P202·T3改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.

解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.

计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，

f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.

答案：32

5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.

答案：(2,6)

考法一　函数的极值、极值点

角度1　求已知函数的极值、极值点个数

[例1]　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的极值；

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

[解]　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝，

令f′(x)＝0，得x＝2，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.

故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值．

(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－a＝(x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；

当a>0时，当x∈时，f′(x)>0；

当x∈时，f′(x)<0，

故函数f(x)在x＝处有极大值．

综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.

[方法技巧]

求函数的极值或极值点的步骤

(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域．