专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 4．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 5．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 6．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型1 对函数概念的理解】 【方法点拨】 定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数. 【例1】（2021秋•海安市校级月考）下列对应中： （1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}； （2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R； （3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z； （4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*． 其中，是函数的是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【解题思路】利用函数的定义，判断即可． 【解答过程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，满足函数的定义，（1）正确； （2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；当x＝1时，对应的y＝±1，不满足函数的定义，（2）不正确； （3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z，满足函数的定义，（3）正确； （4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．当x＝1时，y需等于0，而y∈N*中没有0与之相对应，（4）不正确． 故选：B． 【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【解题思路】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析4个图形， 对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意， 对于②，符合题意， 对于③，符合题意， 对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义， 故选：C． 【变式1-2】（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（　　） A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R， C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0 【解题思路】根据函数的定义判断即可． 【解答过程】解：对于A，C，D，集合A中的任意一个元素，按照对应法则f（x），在集合B中都有唯一个元素与之对应，符合函数的定义，所以A，C，D正确， 对于B，对于集合A中元素0在集合B中没有元素