第3章 第4节 第2课时 利用导数研究函数的零点（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二课时　利用导数研究函数的零点

[典例]　设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．

[解]　(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋(x>0)，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，∴f(x)的极小值为2.

(2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)·(x＋1)．当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝，又∵φ(0)＝0.结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．

综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点．

[方法技巧]

利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法

(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．

(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．

(3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现．　　

[针对训练]

已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

解：(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，

则f′(x)＝x2－6x－3.

令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.

当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．

(2)证明：因为x2＋x＋1>0，

所以f(x)＝0等价于－3a＝0.

设g(x)＝－3a，

则g′(x)＝≥0，

仅当x＝0时，g′(x)＝0，

所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．

又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．

综上，f(x)只有一个零点．

[典例]　(2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0)．

(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．