第10章 第3节 概率与统计的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三节　概率与统计的综合问题 考法一　概率与统计、统计案例的交汇 [典例]　(2023·潍坊模拟)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． (1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关． 单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体． ①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； ②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X＝99时，P(X＝k)(k＝0,1,2，…，n)取最大值，求参加人体接种试验的人数n及E(X)． 参考公式：χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量) 参考数据： α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 xα 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 [解]　(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为： 在[0,20)内有0.002 5×20×200＝10(只)；在[20，40)内有0.006 25×20×200＝25(只)； 在[40,60)内有0.008 75×20×200＝35(只)；在[60，80)内有0.025×20×200＝100(只)； 在[80,100]内有0.007 5×20×200＝30(只)． 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只：而指标值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下： 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 零假设为H0：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联． 根据列联表中数据，得χ2＝≈4.945>3.841， 根据α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)， 则P(A)＝＝0.8，P(B)＝＝0.5，P(C)＝1－P()P()＝1－0.2×0.5＝0.9， 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率为0.9. ②由题意，知随机变量X～B(n,0.9)，P(X＝k)＝C×0.9k×0.1n－k(k＝0,1,2，…，n)， 因为P(X＝99)最大，所以由 可得 解得109≤n≤，因为n是整数，故n＝109或n＝110， 所以参加接种试验的人数为109或110， 当接种人数为109时，E(X)＝np＝109×0.9＝98.1； 当接种人数为110时，E(X)＝np＝110×0.9＝99. [方法技巧] 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．　　 [针对训练] (2023·聊城模拟)某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高． (1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线y＝ebx＋a的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程(系数a和b的最终结果精确到0.01)，并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超重的人数降至10人以下？ 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超重人数y