第8章 第6节 第3课时 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三课时　圆锥曲线中的定点、定值问题 考法一　圆锥曲线中的定点问题 [典例]　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [解]　(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1， 由A(0，－2)，B在椭圆上， 可得解得m＝，n＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：由A(0，－2)，B可得直线AB的方程为y＝x－2. 若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x＝1. 将直线方程x＝1代入＋＝1，得y＝±. 令N，M.将y＝－代入y＝x－2，可得T. 由＝，得H. 此时直线HN的方程为y＝(x－1)＋＝x－2， 则直线HN过定点(0，－2)． 若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得方程组 消去y并整理，得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0. 所以① 则② 且x1y2＋x2y1＝.　③ 联立得方程组可得T. 由＝，得H(3y1＋6－x1，y1)． 则直线NH的方程为y－y2＝(x－x2)． 将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0.　④ 将①②③代入④，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上可得，直线HN过定点(0，－2)． [方法技巧] 求解圆锥曲线中定点问题的2种方法 (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． (2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式； ②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组 ③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．　　 [针对训练] 　(2023·泰州模拟)已知l1，l2是过点(0, 2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆Γ：＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆Γ相交于C，D两点． (1)求直线l1的斜率k的取值范围； (2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标． 解：(1)根据题意直线l1，l2的斜率均存在且不为0，直线l1，l2分别为y＝kx＋2，y＝－x＋2， 联立得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0， 由Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)>0得4k2>3，则k<－或k>， 同理42>3，则－<k<，所以k的取值范围为∪. (2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由(1)得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0， 所以x1＋x2＝－，则xM＝＝－， 所以yM＝kxM＋2＝－＋2＝， 则M，同理N， 则直线MN的方程为y－＝，化简整理得y＝x＋.因此直线MN经过一个定点. [典例]　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：为定值． [解]　(1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2， ∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，∴＝2，a＝1， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明：由题意知，A(－1, 0)，B(1, 0)， 由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2， 设M(x1, y1)，N(x2, y2)， 联立得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝，∴ny1y2＝－(y1＋y2)， ∵直线MA的斜率k1＝，直线NB的斜率k2＝， ∴＝＝＝＝＝－，为定值． [方法技巧] 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．　　 [针对训练] 已知斜率为1的直线交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2. (1)求抛物线C的标准