第8章 第6节 第2课时 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二课时　圆锥曲线中的最值、范围问题 [典例]　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． [解]　(1)当MD⊥x轴时，有|MF|＝＋p＝3，得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)根据(1)知F(1,0)，D(2,0)． 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，此时α－β＝0. 当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 则直线MN的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y－y1＝(x－x1)＝(x－x1)， 即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)， 所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x. 同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x. 因为F(1,0)在MN上，所以y1y2＝－4. 因为D(2,0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以y3＝－，y4＝－. 所以y3＋y4＝－－＝－＝－＝2(y1＋y2)，y3y4＝＝＝－16， 所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x， 所以tan α＝，tan β＝， 所以tan(α－β)＝＝＝2×. 当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，所以不符合题意． 当y2＋y1>0时，(y2＋y1)＋≥4， 所以tan(α－β)≤2×＝， 当且仅当y2＋y1＝，即y2＋y1＝2时取等号，此时α－β取得最大值， 综上，直线AB的方程为x－y－4＝0. [方法技巧]　求解圆锥曲线最值问题的2种方法 几何法 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 [针对训练] (2023·淮南一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4. (1)求椭圆C的方程； (2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程． 解：(1)∵椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4， ∴＝4，∴c＝2， 又∵离心率e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时|AB|＝4. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2， 联立得(1＋3k2)x2＋12kx＝0， ∴x1＝0，x2＝－，∴|AB|＝|x2－x1|＝，令t＝1＋3k2(t≥1), ∴|AB|2＝(1＋k2)×＝ (t≥1)， ∴当＝，即t＝4时，|AB|2＝(t≥1) 取得最大值， 即k＝±1时，|AB|2最大为18，即|AB|最大为3， ∴直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. [典例]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a,2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． [解]　(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6， 又点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa， 由解得或 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2. 因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 又y1＝t－x1，y2＝t－x2， 所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝. 由原点O到直线AB的距离不小于，得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2， 因为2p＝，函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增， 所以p≥，即p的取值范围为. [方法技巧] 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　 [针对训练] (2023