第8章 第6节 第4课时 圆锥曲线中的证明、存在性问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四课时　圆锥曲线中的证明、存在性问题 [典例]　(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [解]　(1)由题意知 ⇒a＝， 又∵a2＝b2＋c2，∴b＝1. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：①(必要性)若M，N，F三点共线，即直线MN过点F(，0)， 设直线MN的方程为x＝my＋， 圆心O(0,0)到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1. 联立 ⇒(m2＋3)y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0， |MN|＝·＝·＝，必要性成立． ②(充分性)当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋m. 此时圆心O(0,0)到MN的距离d＝＝1⇒m2－t2＝1， 联立⇒(t2＋3)y2＋2tmy＋m2－3＝0，Δ＝4t2m2－4(t2＋3)(m2－3)＝12(t2－m2＋3)＝24. 由|MN|＝＝⇒t2＝1，∴m2＝2. ∵MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，∴m>0，m＝， ∴直线MN的方程为x＝ty＋，恒过点F(，0)，∴M，N，F三点共线，充分性成立． 由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [方法技巧] 圆锥曲线中证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．　　 [针对训练] (2022·呼伦贝尔二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，P(， 1)是椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(m, 0)(m为常数，且m≠±2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与y轴相交于点N，已知＝λ1，＝λ2，证明：λ2＋λ1＝. 解：(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以b＝， 又P(， 1)是椭圆C上一点，所以＋＝1，解得a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为y＝k(x－m)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，则N(0, －mk)，＝(x1, y1＋mk)，＝(m－x1, －y1)，＝(x2, y2＋mk)，＝(m－x2, －y2)， 联立方程组整理得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2m2k2－4＝0，则Δ＝16m2k4－(4＋8k2)(2m2k2－4)＝32k2－8m2k2＋16>0， x1＋x2＝，x1x2＝. 因为＝λ1，＝λ2，所以λ1＝，λ2＝，故λ1＋λ2＝＋＝＝. 考法二　圆锥曲线中存在性问题 [典例]　(2023·无锡高三开学考试)设F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点F且与x轴不重合的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)当＝2时，求||； (2)在x轴上是否存在异于F的定点Q，使为定值(其中kQA，kQB分别为直线QA，QB的斜率)？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． [解]　(1)设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 又因为＝2，所以解得m2＝，|y1|＝＝， 所以||＝|y1|＝，即||＝. (2)假设在x轴上存在异于点F的定点Q(t,0)(t≠1)，使得为定值． 由(1)知，y1＋y2＝，y1y2＝，所以y1＋y2＝2my1y2. 所以＝＝＝＝＝＝. 要使为定值，则＝，解得t＝2或t＝1(舍去)，此时＝－1. 故在x轴上存在异于F的定点Q(2,0)，使得为定值． [方法技巧] 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．　　 [针对训练] 已知双曲线－＝1. (1)过点M(1, 1)的直线交双曲线于A，B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程； (2)是否存在直线l，使得为l被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－2(y1＋y2)(y1－y2)＝0 ，所以＝， 又因为M为弦AB的中点，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＝，所以直线AB的方