第9章 第1节 两个计数原理与排列组合（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第九章|计数原理、概率、随机变量及其分布列 第一节　两个计数原理与排列组合 1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义. 2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．两个计数原理的概念 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法 2．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝ ＝ ＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版选择性必修③P11·T3改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　 ) A．16 B．13 C．12 D．10 答案：C 2．(人教B版选择性必修②P7·例3改编)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　 ) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 答案：C 3．(人教A版选择性必修③P26·T4(2)改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　 ) A．12 B．24 C．64 D．81 答案：B 4．(人教A版选择性必修③P27·T12(2)改编)由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成________个没有重复数字，并且比5 000 000大的正整数． 答案：1 440 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(混淆排列与组合导致计数错误)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 ) A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040 解析：选C　先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有CCC＝2 520种．故选C. 2．(解题时易出现重复的情况而致误)某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　 ) A．19 B．38 C．55 D．65 解析：选D　至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同的选派方案种数为CC＋CC＝65.故选D. 3．(忽视排列数公式的排列条件)若3A＝4A，则x＝________. 解析：由3A＝4A，得＝，即＝，整理得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13.∵x≤8且x－1≤9，∴x≤8，∴x＝6. 答案：6 Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． (2)①排列数与组合数之间的联系为CA＝A. ②两种形式分别为：a.连乘积形式；b.阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证． (3)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏． (4)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏． 考法一　两个计数原理的简单应用(自主练通) 1.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有(　 ) A．10条 B．8条 C．6条 D．4条 解析：选C　由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步；其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走法．故能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3×