第9章 第4节 事件的相互独立性、条件概率（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四节　事件的相互独立性、条件概率 1.了解两个随机事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率. 2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 3.了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率. 4.会利用全概率公式计算概率. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．相互独立事件 概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 2.条件概率 (1)条件概率的计算公式 条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算公式 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝； ②公式法：P(B|A)＝ (2)条件概率的性质：设P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ④设和B是互斥事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． (3)概率的乘法公式 由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝.我们称该公式为全概率公式． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修②P253·T3改编)天气预报表明在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　 ) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 解析：选C　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 2．(湘教版选择性必修②P109·例1改编)若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是________． 答案： 3．(苏教版选择性必修②P131·T2改编)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.1，则P(B)＝________. 解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5. 答案：0.5 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视乘法公式的应用)第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　记Ai表示第i次取到白球(i＝1,2)，则P(A1)＝，P(A2|A1)＝.由乘法公式，得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 2．(混淆条件概率与积事件的概率)有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则P(B|A)＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意知事件A“甲和乙至少一人选择庐山”包含n(A)＝CC＋1＝7种情况，事件AB“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山”包含n(AB)＝CC＝6种情况，所以P(B|A)＝＝.故选D. 3．(混淆独立事件与互斥事件)抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________． 解析：∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.又A，B为相互独立事件，∴P()＝P()P()＝×＝.∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P()＝1－＝. 答案： Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．理清“相互独立”和“事件互斥”的区别 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 2．不要混淆P(B|A)与P(A|B) 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 3．[二级结论]若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． 考法一　相互独立事件 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度1　相互独立事件的判断 [例1]　(2021