第8章 第4节 双曲线（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四节　双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.了解双曲线的几何性质范围、对称性、顶点、离心率、渐近线. 3.了解双曲线的简单应用. 4.理解数形结合思想. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版选择性必修①P121·T3改编)已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 2．(北师大版选择性必修①P68·T3改编)双曲线－＝1的渐近线方程为________． 答案：y＝±x 3．(苏教版选择性必修①P99·T8改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________． 解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝. 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视双曲线上的点到焦点距离的范围)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　 ) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 解析：选B　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，解得|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B. 2．(忽视双曲线定义的条件)已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 解析：选D　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． 3．(忽视双曲线焦点的位置)已知双曲线的焦点为F1(0，－6)和F2(0,6)，且经过点A(2，－5)，则该双曲线的标准方程是________． 答案：－＝1 Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. (5)若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. (6)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 考法一　双曲线的标准方程(自主练通) 1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为(　 ) A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：选A　由题意可得解得则该双曲线的标准方程为－y2＝1. 2．(2021·北京高考)双曲线－＝1过点(，)，离心率为2，则双曲线的解析式为(　 ) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1