第8章 第5节 抛物线（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第五节　抛物线 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.了解抛物线的简单几何性质范围、对称性、顶点、离心率. 3.了解抛物线的简单应用. 4.理解数形结合思想. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(北师大版选择性必修①P69·T1改编)若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　 ) A．y2＝－6x B．y2＝－12x C．x2＝－6y D．x2＝－12y 答案：D 2．(苏教版选择性必修①P104·T5改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________． 答案： 3．(人教B版选择性必修①P159·T5改编)抛物线x2＝y上到直线2x－y－4＝0距离最小的点P的坐标为________． 答案：(1,1) 4．(北师大版选择性必修①P76·T3改编)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________. 答案：8 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视p的几何意义致误)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　 ) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 解析：选D　由题意可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D. 2．(忽视焦点的位置致误)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________． 解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. 答案：y2＝16x或x2＝－8y 3．(忽视抛物线定义的应用)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________． 解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)． 答案：(2,2) Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦(即焦点弦)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①x1x2＝，y1y2＝－p2； ②|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； ③＋＝； ④焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|； ⑤通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦； ⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切； ⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上，即以焦点弦AB为直径的圆与准线相切． (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(2p,0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p,0)． 考法一　抛物线的定义及应用(自主练通) 1．在平面上，到点A(1,0)的距离等于到直线x＋2y＝3的距离的动点P的轨迹是(　 ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 解析：选D　因为点A(1,0)不在直线x＋2y＝3上，则到点A(1,0)的距离等于到直线x＋2y＝3的距离的动点P的轨迹是以A(1,0)为焦点，直线x＋2y＝3为准线的抛物线；故选D. 2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　 ) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：选B　如图，由题意可知F(1，0)，设A，则由抛物线