第7章 第2节 第3课时 空间直线、平面的垂直（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三课时空间直线、平面的垂直 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．直线与平面垂直 (1)定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角的平面角α的范围：. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修②P162·T2改编)(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是( ) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 答案：BD 2．(苏教版必修②P183·T3改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对. 答案：7 3．(湘教版必修②P173·T2改编)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________. 答案：45° 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视线面垂直条件的判断)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件． 2．(忽视判定平面与平面垂直的条件)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是( ) A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确． 3．(忽视平面到空间的变化)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________． 解析：若a，b，c在同一个平面内，则由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 答案：平行、相交或异面 Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)灵活应用两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)解题时应注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)掌握三种垂直关系的转化 考法一直线与平面垂直的判定与性质 [典例](2023·运城模拟)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． [证明](1)如图,过平面ABC内一点D作DF⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，则DF⊥PA， 平面ABC内过D作DG⊥AB， 同理得DG⊥PA，又DF，DG⊂平面ABC， ∴PA⊥平面ABC. (2)由E为△PBC的垂心， 即BE⊥PC，又AE⊥平面PBC， ∴BE是AB在平面PBC内的射影， 则AB⊥PC， 由(1)且AB⊂平面ABC，有PA⊥AB， 又PC∩PA＝P， ∴AB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC， 故AB⊥AC，即△ABC是直角三角形，得证． [方法技巧] 证明线面垂直的常