第7章 第2节 第4课时 立体几何中的动态问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四课时立体几何中的动态问题 “动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化，加强了对学生空间想象能力的考查． 考法一截面问题 [典例](多选)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M为线段AA1的中点，点N为棱CC1上的动点(包括端点)，平面B1MN截长方体的截面为α，则( ) A．α可能为六边形 B．存在点N，使得BN⊥α C．若α为平行四边形，则α面积的最大值为 D．当N与C重合时，α将长方体分成体积比为7∶17的两部分 [解析]对于A，截面α可能为四边形或五边形，不能是六边形，A错误；对于B，若存在点N，使得BN⊥截面α，则BN⊥B1N，则N为CC1中点，此时BN与B1M不垂直，∴不存在点N，使得BN⊥截面α，B错误；对于C，当截面为平行四边形时，在平面C1B1BC内过点N作B1C1的平行线，交BB1于P，过点P作B1M的垂线，垂足为Q，连接NQ，则NP⊥平面AA1B1B，∵斜线NQ在平面AA1B1B的射影为PQ，则NQ⊥B1M；设B1P＝x(0≤x≤1)，∵△PQB1∽△B1A1M，∴PQ＝x，QN＝， ∴截面面积为S＝·. ∴当x＝1时，Smax＝×＝，C正确；对于D，当N，C重合时，截面为梯形．取AD的中点E，连接CE，ME，延长B1M，BA，CE交于点F， ∵S△AEM＝×1×＝，S△BB1C＝×2×1＝1，∴棱台AME-BB1C的体积V1＝××1＝，又长方体体积V＝2×1×1＝2，剩余部分的体积V2＝V－V1＝2－＝，∴V1∶V2＝7∶17，D正确． [答案]CD [方法技巧]截面问题的解题关键 （1）弄清正方体圆柱的基本截面， [针对训练] 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面有以下结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状可能为正六边形；④截面形状可能为五边形．其中正确的结论为( ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 解析：选B如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，所以平面α与平面A1BD平行或重合，所以平面α与正方体的截面形状可以是正三角形、正六边形，但不可能是五边形和四边形，故①③正确． 2. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱AB上的动点，过A1，C1，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7∶25的两部分，则该截面的周长为( ) A. B．3＋ C．5＋ D．5＋ 解析： 选D如图所示，过点P作PQ∥A1C1，交BC于点Q，则四边形PQC1A1就是过点A1，C1，P的截面，设PB＝BQ＝x(0≤x≤2)， 则台体PBQ-A1B1C1的体积为×2×＝×8，解得x＝， 所以PQ＝，A1P＝C1Q＝＝，A1C1＝2， 所以截面的周长为×2＋2＋＝5＋. 考法二距离问题 [典例] 如图，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为________． [解析] 从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，从而OP≤OQ＋QP＝AB1＋2＝＋2，当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角． [答案]＋2 [方法技巧] 求两点间的距离或其最值．一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的最大(小)距离，求其值． [针对训练] (2023·新乡一模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝，则CP的最小值为( ) A.－2B.－3C.－2D.－3 解析：选A如图，作HG⊥BB1交BB1于点G，则可得HG⊥平面BCC1B1，因为GP⊂平面BCC1B1，所以HG⊥GP，则HG＝3，因为HP＝，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝－2.故选A. 考法三面积、体积问题 [典例]在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内(饱含边界)的动点，且满足∠