第7章 第3节 第2课时 向量法求空间角（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二课时　向量法求空间角 1.能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序. 2.体会向量法在研究空间角问题中的作用. Ⅰ.主干知识的再认再现 空间向量与空间角 空间角 向量求法 空间角的范围 异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ 二面角 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ [0，π] 两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角； 设平面α与平面β的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝ Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教B版选择性必修①P36·T3改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 答案：C 2．(人教A版选择性必修①P38·T1改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为________. 答案： 3．(苏教版选择性必修②P35·T3改编)已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 解析：设直线l与α所成角为θ，sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，又∵θ∈，∴θ＝. 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽略异面直线所成角与向量夹角的关系)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为(　 ) A. B．－ C．－ D. 解析：选A　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则＝(－1，－3,2)，＝(－1,0，－2)，从而cos〈，〉＝＝＝－.又异面直线BD1和B1C所成的角不可能为钝角，其余弦值非负，所以，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为. 2．(混淆二面角和平面与平面的夹角)已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为________． 解析：＝. 答案： Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)[二级结论]最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. (2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. (3)平面与平面所成的角和二面角的概念不同． 考法一　异面直线所成的角 [典例]　(1)(2022·邵阳模拟)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，PB⊥平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN＝，Q为线段AB上的点(不包括端点A，B)，若使异面直线PM与CQ所成角的余弦值为，则＝(　 ) A.或4 B. C. D. [解析]　(1)　∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1＝.以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，＝(0,1，)，＝(0，－1，)．设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，又0°<θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C. (2)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，∴BA⊥BC. ∵PB⊥平面ABC，以B为原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 可知B(0,0,0)，C(0,2,0)，M(1,1,0)．因为BM＝，MN＝， 所以BN＝＝＝2， 所以PB＝4