第7章 第3节 第4课时 立体几何中的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四课时　立体几何中的综合问题 考法一　翻折问题 [典例]　(2022·烟台三模)如图，在平面五边形PABCD中，△PAD为正三角形，AD∥BC，∠DAB＝90°且AD＝AB＝2BC＝2.将△PAD沿AD翻折成如图所示的四棱锥P-ABCD，使得PC＝.F，Q分别为AB，CE的中点． (1)求证：FQ∥平面PAD； (2)若＝，求平面EFC与平面PAD夹角的余弦值． [解题微点] 切入点 (1)取DC的中点M，连接MF，MQ.可得平面MQF∥平面PAD，从而可证FQ∥平面PAD； (2)取AD的中点O，连接OP，OC, 以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可 关键点 (1)找到一个直线FQ所在的平面，且该平面与平面PAD平行； (2)求出两个平面的法向量 隐藏点 根据翻折后的数量关系求出线面的位置关系 [解]　(1)证明：取DC的中点M，连接MF，MQ. 则MQ∥PD，MF∥DA. 因为MQ⊄平面PAD， MF⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以MQ∥平面PAD， MF∥平面PAD， 因为MQ∩MF＝M，所以平面MQF∥平面PAD， 因为FQ⊂平面MQF，所以FQ∥平面PAD. (2)取AD的中点O，连接OP，OC， 因为△PAD为正三角形，AD＝2， 所以OP⊥AD且OP＝， 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝2BC＝2， 所以OC⊥AD且OC＝2， 又因为PC＝， 所以在△POC中，OP2＋OC2＝PC2，即OP⊥OC， 所以，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(1,0,0)，C(0,2,0)，F(－1，1,0)，P(0,0，)，＝(－1,0，)． 因为＝，即＝＝， 所以E， 所以＝，＝. 设n＝(x1，y1，z1)为平面EFC的一个法向量， 则即 取n＝(3，－3，－8)． 又平面PAD的一个法向量m＝(0,1,0)， 设平面EFC与平面PAD的夹角为α， 则cos α＝＝＝. 故平面EFC与平面PAD夹角的余弦值为. [方法技巧] 解决空间角与翻折相结合问题的关键 一是盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；二是会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标；三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决．　　 [针对训练] (2022·威海三模)如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，M，N分别是AB，AC上的点，且AM＝AN＝4，E是BC的中点，AE交MN于点F.以MN为折痕把△AMN折起，使点A到达点P的位置(0<∠PFE<π)，连接PB，PE，PC. (1)证明：MN⊥PE； (2)设点P在平面ABC内的射影为点Q，若二面角P-MN-B的大小为，求直线QC与平面PBC所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，E是BC的中点， 所以AE⊥BC，因为AM＝AN＝4， 所以MN∥BC，所以MN⊥AE， 可得MN⊥PF，MN⊥FE，又PF∩FE＝F， 所以MN⊥平面PFE，又PE⊂平面PFE， 所以MN⊥PE. (2)因为MN⊥PF，MN⊥FE， 所以二面角P-MN-B的平面角为∠PFE， 所以∠PFE＝，可得∠PFA＝， 由第(1)问知，MN⊥平面PFE，MN⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PFE， 又因为平面PFE∩平面ABC＝AE， 所以点P在平面ABC内的射影Q在AE上， 因为PF＝2，所以QF＝，PQ＝3， 过F作直线l∥PQ交PE于点K，以F为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， P(0，－，3)，C(－3，，0)，E(0，，0)，Q(0，－，0)， ＝(－3,2，0)，＝(－3,2，－3)，＝(0,2，－3)， 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令z＝2，可得n＝(0，，2)， 所以∣cos〈，n〉＝＝， 所以直线QC与平面PBC所成角的正弦值为. [典例]　如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，平面α经过棱PC的中点E，与棱PB，AC分别交于点F，D，且BC∥平面α，PA∥平面α. (1)证明：AB⊥平面α； (2)若AB＝BC＝PA＝2，点M是直线EF上的动点，求平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值． [解题微点] 切入点 (1)由已知结合直线与平面平行的性质得BC∥EF，PA∥ED，进一步可得ED⊥AB，AB⊥EF，再由直线与平面垂直的判定定理证明； (2)求出平面PBC的一个法向量与