第8章 第1节 直线方程及两直线位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第八章 平面解析几何 第一节　直线方程及两直线位置关系 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180° (2)斜率公式 定义式 直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率k＝tan_α，当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在 坐标式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° (3)直线的方向向量与斜率的关系 定义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k) 关系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线 3．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 4．三种距离 条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝ 两平行线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝ Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版选择性必修①P58·T7改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　 ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 答案：A 2．(人教A版选择性必修①P66·T1改编)过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　 ) A.x－3y＋4＝0 B.x－y＋2＝0 C.x－3y＋2＝0 D.x－y＝0 答案：A 3．(人教A版选择性必修①P67·T8改编)已知直线l过点(0,3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 答案：D 4．(人教A版选择性必修①P79·T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________． 解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝. 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(混淆倾斜角与斜率的关系)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　 ) A．0 B. C. D．不存在 解析：选C　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为. 2．(忽视斜率不存在的情况)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1. 答案：0或1 3．(忽视两直线重合的情况)已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． 解析：令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行． ∴a的值为3. 答案：3 4．(忽视截距为0的情况)经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________________． 解析：设直线l在x