第8章 第3节 椭 圆（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三节　椭　圆 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 y∈[－b，b] y∈[－a，a] x∈[－a，a]， x∈[－b，b]， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，且e∈(0,1) c2＝a2－b2 Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(北师大版选择性必修①P55·T3改编)椭圆＋＝1的离心率是(　 ) A. B. C. D. 答案：B 2．(人教A版选择性必修①P109·T1改编)如果椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________． 答案：4 3．(人教B版选择性必修①P135·T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等腰直角三角形，则这个椭圆的标准方程是______________． 答案：＋＝1 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视参数的限制条件)若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　 ) A．(5,7)　B．(5,6)　C．(6,7)　D．(5,6)∪(6,7) 解析：选D　由题意可知解得5＜k＜7且k≠6. 2．(忽视定义中2a>|F1F2|)平面内一点M到两定点F1(－6,0)，F2(6,0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________． 解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，但|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2. 答案：线段F1F2 Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)设P，A，B是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中A，B两点关于原点对称，且直线PA，PB的斜率都存在，则kPA·kPB＝－(适用于焦点在x轴上的椭圆)． (2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. (3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦． (4)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则S△PF1F2＝b2·tan ，其中θ＝∠F1PF2. (5)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c). 考法一　椭圆的标准方程(自主练通) 1．(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选BD　因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. 2．(2023·银川高级中学月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2，则椭圆方程为(　 ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C　由题意可得c＝，＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝，所以所求椭圆方程为＋＝1. 3．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________． 解析：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4. 由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 [一“点”就过] (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． (2)椭圆的标准方程的两个应用 ①方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率． ②与椭圆＋＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆系方程为＋