第7章 第1节 第2课时 与球有关的切、接问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二课时与球有关的切、接问题 与球有关的切接问题，是历年高考命题的热点，也是学生的难点、易失分点．其中内切球是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决，特别是如果内切的是多面体，则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作；外接球是指一个多面体的几个顶点都在球面上的问题，解题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．总之，解决与球有关的切、接问题关键在于求球体的半径，明确球心的位置． 方法一定义法 [典例](1)(2023·沭阳如东中学高三模拟)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为( ) A.π B.π C.π D．5π [解题微点] 切入点 设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段PQ上，即可在直角三角形AOQ上根据几何关系求出外接球半径，然后由公式计算球的表面积 关键点 利用圆柱的对称性以及三棱锥侧面与底面的位置关系确定球心的位置 [解析]由题，由圆的性质，△ABE为直角三角形，E＝90°，如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O, 由外接球的定义，OP＝OA＝OB＝OE＝R，易得O在线段PQ上， 又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ＝BQ＝1，∵PQ⊥AQ，则OA2＝OQ2＋AQ2⇒R2＝(2－R)2＋12，解得R＝，∴外接球表面积为4πR2＝. [答案]B (2)(2023·深圳模拟)若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为( ) A．6 B．3 C．3 D．3 [解题微点] 切入点 设AB＝a，AA1＝h，由球O的体积的最小值，求出半径R的最小值．利用球心、底面中心、点A构成直角三角形，建立R关于a，h的式子，再利用基本不等式求ah的值，进而求三棱柱的侧面积 关键点 正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点 易错点 利用基本不等式求最值时，注意等号成立时条件的检验 [解析]如图，设正三棱柱上、下底面的中心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2的中点为O， 设球O的半径为R，连接OA，则OA＝R，连接O1A1，O2A，设AB＝a，AA1＝h，则OO2＝h，O2A＝·＝a. 因为V球＝≥，所以Rmin＝1. 在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝OO＋O2A2＝h2＋a2≥2×h×a＝ah，当且仅当h＝a时取等号，则R＝ah，所以ah＝1，即ah＝， 所以该三棱柱的侧面积为3ah＝3.故选B. [答案]B [方法技巧] 在空间中，如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心，由以上性质可得到以下结论： (1)正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点； (2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； (4)正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置计算可得； (5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． [针对训练] 1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A．100π B．128π C．144π D．192π 解析：选A由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π. 2．设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则该直三棱柱的体积是( ) A．4 B. C．2 D. 解析：选A设AB＝AC＝AA1＝2m.因为∠BAC＝120°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得＝2r(r是△ABC外接圆的半径)，r＝2m.又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA1的一半，所以球的半径为＝m.所以球的表面积为4π(m)2＝40π，解得m＝.因此该直三棱柱的体积是S△ABC·AA1＝×4m2××2m＝2m3＝4. 方法二补形法 [典例](1)(2023·西安一模)在