第4章 第6节 第3课时 解三角形的应用举例（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三课时　解三角形的应用举例 Ⅰ.主干知识的再认再现 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)． (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1.(人教A版必修②P49·例9改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　 ) A．20 m B．30 m C．40 m D.50 m 解析：选D　由三角形内角和定理可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，由正弦定理得＝⇒＝⇒AB＝50 m，故选D. 2.(人教A版必修②P50·例10改编)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　 ) A．30 m B．20 m C．30 m D.20 m 解析：选D　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，由正弦定理＝可得＝，可得CB＝20×＝20 m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20 m. 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(混淆方向角与方位角)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km. 解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1. 答案：－1 2．(混淆仰角与俯角)某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m. 解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)． 答案：10(3－) 考法一　测量距离问题 [典例]　如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 (　 ) A．20 海里　　　　 D.40 海里 C．20(1＋)海里 D.40海里 [解题“微点”] 切入点 分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB即可 障碍点 提取各三角形中的条件，并综合利用这些三角形求解 [解析]　由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°， 在△ACD中，由正弦定理得＝，得AD＝20， 在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝40，在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝＝＝20，故选A. [答案]　A [方法技巧] 求解距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 [针对训练] 1．一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　 ) A．8 km B．3 km C．3 km D.5 km 解析：选B　如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC＝＝ ＝2，由正弦定理得 sin∠ACB＝＝，在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－，由余弦定理得 AD＝＝ ＝3，所以A地到D地的直线距离是3 km. 2．(2023·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60