第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二节　 平面向量基本定理及坐标表示 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修②P29·例4改编)已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　 ) A．(1,2) B．(－1，－2) C．(－1,2) D．(1，－2) 答案：B 2.(人教B版必修②P155·例5改编)如图，＝2，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是(　 ) A．c＝b－a B．c＝a－b C．c＝2a－b D．c＝2b－a 答案：B 3．(苏教版必修②P37·T2改编)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(混淆基底的选择)在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　 ) A. B．－ C．1 D．－1 解析：选A　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝. 2．(混淆单位向量的方向)已知A(－5,8)，B(7,3)，则与向量反向的单位向量为________． 解析：由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此与反向的单位向量为－＝. 答案： 3．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝，c＝(－1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________． 解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2. 答案：2 Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．灵活应用3个常用结论 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 2．关注两个注意点 (1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． 考法一　平面向量的坐标运算(自主练通) 1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　 ) A. B．2 C．5 D．50 解析：选A　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a－b|＝＝. 2．已知向量a，b满足2a－b＝(0,3)，a－2b＝(－3,0)，λa＋μb＝(－1,1)，则λ＋μ＝(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，所以且解得即a＝(1,2)，b＝(2,1)．所以λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，2λ＋μ)＝(－1,1)，则解得故λ＋μ＝0. 3．如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则－＋＝(　 ) A．2a＋b B．－2a－b C．－3a＋b D．3a－b 解析：选C　以a为x轴，b为y轴建立坐标系(图略)，则a＝(1,0)，b＝(0,2)． A(1,3)，B(3,1)，C(2,5)，D(5,4).－＋＝＋＝＝(－3,1)． 令＝x a＋y b，得到(－3,1)＝x(1,0)＋y(0,2)． 解得x＝－3，y＝. 所以－＋＝－3a＋b. 4．已知O为坐标原点，向量＝(1,2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________. 解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1,2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，则由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故|O|＝＝. 答案： [一“点”就过]　求解向量坐标运算问题的一般思路 巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程