第5章 第4节 复数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四节　复　数 1.通过方程的解，认识复数. 2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查对复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念的认识. 3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算. Ⅰ.主干知识的再认再现 1．复数的定义及分类 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b. (2)复数的分类 2．复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 3．复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 4.复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修②P69·例1改编)若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　 ) A．a≠2且a≠－1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝0或a＝2 答案：B 2．(人教B版必修④P31·T4改编)若z＝3＋4i，则|z|＝(　 ) A. B．5 C．7 D．25 答案：B 3．(苏教版必修②P132·T4改编)设复数z1＝4－3i，z2＝1＋2i，则在复平面内所对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视复数相等的充要条件)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　 ) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 答案：B 2．(忽视复数为纯虚数的充要条件)已知a∈R，若z＝(a＋i)(a＋4i)－10i为纯虚数(i为虚数单位)，则a的值为(　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．±1 解析：选B　因为z＝(a＋i)(a＋4i)－10i＝a2－4＋(5a－10)i，a∈R且z为纯虚数，所以所以a＝－2，故选B. 3．(忽视未知数在复数范围内)在复数范围内解方程|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)，则z＝________. 解析：原方程化简为|z|2＋(z＋)i＝1－i，设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程得x2＋y2＋2xi＝1－i，∴x2＋y2＝1且2x＝－1，解得x＝－且y＝±，∴原方程的解是z＝－±i. 答案：－±i Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．掌握复数运算的常用结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (3)z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 2．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数． 3．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数． 4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 考法一　复数的概念(自主练通) 1．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　 ) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 解析：选A　由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝a＋b＋1＋(2a－2)i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，所以解得故选A. 2．(2023·青岛模拟)复数(i是虚数单位)的虚部是(　 ) A．1 B．－i C．2 D．－2i 解析：选A　由题意可知，＝＝＝－1＋i，所以复数的虚部为1. 3．设a，b∈R，“复数a＋bi是纯虚数”是“a＝0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　a＋bi是纯虚数时，一定有a＝0，当a＝0，只有b≠0时，a＋bi