第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三章 | 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ 几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义，是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0) 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3．导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． 4．复合函数的定义和导数 定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 导数 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(北师大版选择性必修②P66·T1改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　 ) A．0 B．e C. D. 答案：D 2．(人教A版选择性必修②P81·T1改编)(多选)下列导数的运算正确的是(　 ) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 答案：ABD 3．(人教A版选择性必修②P81·T3改编)已知函数f(x)＝x(2 022＋ln x)，若f′(x0)＝2 023，则x0等于(　 ) A．e2 B．1 C．ln 2 D.e 答案：B 4．(人教B版选择性必修③P81·T2改编)曲线y＝cos x－在点(0,1)处的切线方程为________． 答案：x＋2y－2＝0 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(错用复合函数的求导法则)设函数f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导数)是偶函数，则φ等于(　 ) A．－ B．－ C．－ D.－ 解析：选A　由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos，因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－. 2．(不理解瞬时变化率的意义)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________． 解析：∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9)． 答案：(－2,9) 3．(混淆在某点处的切线与过某点的切线)过点(0，－1)且与曲线y＝x－1＋相切的直线方程为________． 答案：(e－1)x＋y＋1＝0 Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．巧记4个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． (3)①注意′≠. ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． 2．明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 3．谨防两个易误 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的