3.3 幂函数(含误区22)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

当a≠0时，因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2十2la+1, 显然，f(-a)≠士f(a), 故此函数既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时， f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 易错探因本题易忽略参数α的不确定性，从而得到如 下错解： 因为x∈R,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+ |x+a|+1≠土f(x), 故此函数既不是奇函数也不是偶函数 误区22未对底数进行分类讨论 易错题22（错误率44%）若(a十1)言<(3一2a)音，试 求实数a的取值范围. 正解(a+1)寸<（3-2a)音， a+1>0, a+1<0, 3-2a>0, .3-2a>0,或3-2a<0,或{ a+1<0, a+1>3-2aa+1>3-2a 解得号<a<号或a<-1 故实数a的取值范围为(-©，-1DU(号，) 易错探因本题易产生如下错解： a+D<8-2a),∴a+1>3-2a,唧a> 3 故实数a的取值范围为（号，十∞）】 事实上，由函数y=x3的奇偶性可知，此函数的单调 递减区间有两个，即（一∞，0）和(0，十∞)，而并非在整 个定义域上单调递减.为了避免错误，应对底数进行分 类讨论。 误区23忽略实际问题中函数的定义域 易错题23（错误率28%）如图所示，在矩形ABCD中， 6 已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分 别截取AE,AH,CG,CF都等于x,则当x为何值时， 四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积. D A E 正解设四边形E℉GH的面积为S,则 SASAG 1 S△E=S△cH=2(a-x)6-x), s=ab-2[2r+2a-x6-✉]， 即s=-2x+a+bz=-2(k-a）°+a, 8 由图形可知此函数的定义域为{x0<x≤b). :0<b<a,∴0<b<atb 21 若a+也≤b,即a≤36， 4 则当-士中时S取得最大值，且S二a 8 若士中>6，即a>动，则S(x)在(0,6上是增函数。 则当x=b时，S取得最大值，且Smx=ab-b2. 综上所述，当aC动，2-时，四边形EGH的面 积最大，且S-atb), 8 当a>3b,x=b时，四边形EFGH的面积最大，且 Smx-ab-b2. 易错探因本题易忽略函数的定义域从而得到错误答 案：当z-士时，S有最大值最大值为号a+6值域的子集， 因为质数y=y=年1,51上都是增函数。 6 所以函数f(x)=xx十在[1,5]止是增函数， 所以f(x)的值域为[-2,4幻， 设函数g(x)的值域为集合A,则原问题转化为A二 [-2,40, 因为函数g(x十1)一1是奇函数，所以函数g(x)关于 (1,1)对称， 又因为g(1)=1,所以函数g(x)恒过点(1,1)， 当%>≥1即m≥2时，g(x)在[0,1]上递减，则函数 g(x)在(1,2]上也是减函数， 所以函数g(x)在[0,2]上递减， 则A=[2-m,m],又A=[2-m,m]二[-2,4]， m≥2， 所以2-m≥-2，解得2≤m≤4； m≤4， 当0<%<1即0<m<2时，g(x)在(o,)上递减， 在(？，1)上递增， 又因函数g(x)过对称中心(1,1)， 所以函数g(x)在(1,2-)上递增，在(2-%，2)上 递减， 故此时g(x)m=ming(2),g(2)}, g(z).-max(g(0),g(2-2), 要使A二[-2,4]， g(2)=2-g(0)=2-m≥-2， g受）=-实+m≥-2， 只需要g(0)=m≤4， (2罗）=2-s份)-四m+长4， 0<m<2, 解得0<m<2. 综上所述，实数m的取值范围为(0,4幻. 3.3幂函数 变式训练答案 [变式1](1)，y=x在[0，十∞)上为增函数，且23<24， 2.3<2.4 (2:y=x音在(0，十∞)上为减函数，且2<3， (W2)>(3)是 (3)y=x3在R上为偶函数，(-0.31)号=0.313】 又：函数y=x号在[0，十0)上为增函数，且0.31<0.35， 0.31号<0.35，即(-0.31)号<0，.353 [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m十2=1，解 得m=1或m=一2当m=1时，fx)=,符合题 意；当m=-弓时，x）=2,不符合题意，合去。 ∴.函数f(x)的解析式为f(x)=x2. (2)由(1)得f(x)=x2, .y=x2-2(a-1)x+1, 即函数图象的对称轴为直线x=a一1. y=x2一2(a一1)x+1在(2,3)上为单调函数， ∴.a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. ∴.实数a的取值范围是（一∞，3]U[4,十∞）. 真题演练答案 1.D提示：y=x十1为一次函数，是增函数，但不是奇函 数，选项A不符合. y=x3是奇函数且是增函数，所以y=一x3是减函数， 选项B不符合： =x1是奇函数，但在定义域内不是增函数，选 项C不符合. x2,x≥0， y=xlx|= 为奇函数且是增函数，选项D -x2,x<0 符合 2A提示：因为03-0，且0<号<号，由幂两数y z导在[0，十o∞)上单调递增可知6<c<a. 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：由幂函数的定义得m2-4m十5=1，解得m=2. 2.B提示：，f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数，.m2 m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时，f(x)=x2, 图象与x轴有公共点(0,0)，不符合题意；当m=一1 时，f(x)=x1,图象与x轴没有公共点，符合题意.综 上，m=-1. 45重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 3.3 幂函数 重点和难点 课标要求 重点：五个常见幂函数的图象与性质 1.了解幂函数的定义. 难点：画y=x3与y=x2的图象，通过五个暴函数的图 2.掌握幂函数的图象， 象概括出它们的共性。 3.掌握幂函数的性质。 口01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1幂函数的概念 1.幂函数的定义 同敲黑板司 般地，函数y=x叫作幂函数，其中x是自变量，a是常数 判断一个函数是否为幂函 数的依据是该函数是否为y= 2.幂函数的特征 x(a是常数)的形式.反过来， (1)x的系数为1. 若一个函数为暴函数，则该函 (2)x的底数是自变量. 数也必具有这一形式，这也是 (3)x的指数为常数. 我们解决某些问题时的一个隐 只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数.形如y= 含条件 (2x),y=2x5,y=x十6等的函数都不是幂函数. 知识点2幂函数的图象 1.一般函数图象的画法 列表、描点、连线，幂函数的图象也可以用此法画出.如图为 1 在同一坐标系内，当分别为12,3,2，一1时幂函数y=x的 函数图象。 y=xt -3-2 y=x 34x 110 第三章 函教的概念与性质》么出 2.幂函数的图象在第一象限的分布情况 幂函数y=x的图象在第一象限内具有如下特征：直线y= 1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三 个区域(I)、(Ⅱ)、（Ⅲ），如图所示 若α∈(1，十∞)台y=x“的图象经过区域(I); 若a∈(0,1)台→y=x的图象经过区域（Ⅱ）； 若α∈（一∞，0）台y=x“的图象经过区域（Ⅲ） 注意到在直线x=1的右侧的图象，从x轴起，幂函数y=x 的指数α由小到大递增，即“指大图高“指小图低”. =x () (Π) 01 利用幂函数在第一象限的图象特征可以作出幂函数的图象， 其步骤是：先利用上述特征，由给定的幂指数作出幂函数在第一 象限的图象；再研究其定义域，看当x≤0时函数是否有意义；若 在（一∞，0）上有意义，再研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函 同敲黑板7 数)图象的对称性，便可作出函数在y轴左边的图象，从而得到幂 幂函数的性质 函数的图象，进而利用图象得到函数的有关性质」 1.所有的幂函数在(0， 知识点3幂函数的性质 十∞)上都有定义，并且图象都 五个常见幂函数的性质，列表如下： 经过，点(1,1) 2.如果a>0,那么幂函数 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=xi 的图象过原点，并且在区间[0， y 十∞)上为增函数.如果a<0, 图象 那么幂函数的图象在区间(0， 十∞)上是减函数，在第一象限 定义域 R R {xx≠0} [0,+∞) 内，当x从右边趋向于原点时， R 图象在y轴右方无限地逼近 值域 R [0,+∞) R {yly≠0) [0,十o∞) y轴，当x从原，点趋向于十∞ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 时，图象在x轴上方无限地逼 近x轴 单调性 (-∞，0] (-∞，0)￥ (0,十∞)入 (0,+∞)y 3.当a为奇数时，暴函数 为奇函数；当a为偶数时，幂函 定点 (1,1) 数为偶函数 111 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺UA(浙江专用) 重难拓展 重难点1对幂函数的图象和性质的研究 幂函数y=x的图象 (1)当a=1时，y=x的图象是一条直线. (2)当a=0时，y=x°=1(x≠0)的图象是一条不包含点(0,1) 国敲黑板 的直线 幂函数奇偶性的判断：设 (3)当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表. y=x(a=色，p,g∈Z且不为 0 &=卫 a<0 0<a<1 a>1 0,p,9不可约)： 1.若力，q同时为奇数，则 p,g都是奇数 y=x是奇函数 2.若q为奇数，p为偶数， 则y=x“是偶函数. p为偶数， 3.若q为偶数，则p为奇 9为奇数 1o1 数，此时y=x”既不是奇函数 也不是偶函数 p为奇数， 4.暴函数的图象一定会出 9为偶数 01支 现在第一象限内，一定不会出 在第一象限的 现在第四象限内，至于是否出 图象特点 减函数 低头增 抬头增 现在第二、三象限内，要看函数 的奇偶性；幂函数的图象最多 注：Q二名，p9∈乙且不为0，p,9不可约 只能同时出现在两个象限内； 例☐给定一组函数解析式：①y=x,②y=x,③y=x, 如果幂函数的图象与坐标轴相 交，则交点一定是原点 ④y=x号，⑤y=x,⑥y=x,⑦y=x.且给出如下一组函数 图象.请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内， 解析先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小；若是负指 数，再区分奇偶性，这样就可找到对应图象的函数.观察前三个图象，由于 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，则幂指数α应小于零，其中第一 个函数的图象关于原，点对称，第二个函数的图象关于y轴对称，而第三个 112 第三章 函教的概念与性质么超 函数的定义域为(0，十∞)，所以第一个图象对应y=x言，第二个图象对应 y=x号，第三个图象对应y=x.后四个图象都通过(0,0)和(1,1)两，点， 故a>0.第四个图象关于y轴对称，第五个图象关于原，点对称，定义域都是 R,所以第四个图象对应y=工号，第五个图象对应y=x,由最后两个图象 知函数的定义域为[0，十∞)，而第六个图象呈上凸状，a应小于1，第七个 图象呈下凸状，a应大于1，故第六个图象对应y=x,第七个图象对应 y=x1. 答案⑥；④；③；②；⑦；①；⑤. -02关键能提升。 题型方法 题型1幂函数的定义及应用 1g)与6)》.23与3.1 例2已知幂函数f(x)=x-3m(m∈N) a()5） 的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的 解析(1)：函数y=x在(0，十∞)上单调 增大而增大 递增， (1)求f(x)的解析式. (2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a 又日>日传)>得) 的取值范围， (2):y=x立在(0，十∞)上为减函数， 解析(1)由题可知函数在R上单调递增， 又3<3.1，“3>3.1 ∴.9-3m>0,解得m<3. 又m∈N*,.m=1或2. ()-()()-(） 又函数图象关于原点对称， ,函数y=x言在(0，十0∞)上为减函数， ∴.9-3m为奇数，故m=2. ∴.f(x)=x3. 又号晋》<(）)月 31 6’ (2),f(a+1)+f(3a-4)<0, .f(a+1)<-f(3a-4). (》<() :f(x)为奇函数， 例④已知函数fx)=mx2一2mz十m-1 x2-2x+1 ∴.f(a+1)<f(4-3a). 又函数f(x)在R上单调递增， (m∈R),试比较f(5)与f(-π)的大小 .a十1<4-3a, 解机fx)=m2-2mx十m-1_mc-1)-1 x2-2x十1 (x-1)2 fast m (x-1)=m-(x-1).f(x)的图象可先由 题型2幂函数单调性的应用 y=x2的图象作关于x轴的对称变换，然后向右平 例3比较下列各题中两个值的大小： 移1个单位长度，再向上(m>0)[或向下(m<0)]平 113 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 移m个单位长度得到（如图所示）.显然图象关于 例6若(3-2m)>(m+1)立，求实数m x=1对称且在(1，十∞)上单调递增， 的取值范围 (1,m） 解析因为幂函数y=x在定义域[0，十∞)上 是增函数， y=f(x) 3-2m≥0， 所以3m+1≥0， 得-1长m<号 3-2m>m+1, f(-π)=f(2+π)，而2十π>5， ∴.f(-π)=f(2+π)>f(5). 故实数m的取值范围为 1》 ●变式1比较下列各题中两个值的大小： 反思☐利用函数的单调性解题时，一定要注意函 (1)2.3,2.4 数的定义域。本题若没有注意到幂函数y=x云的定义 (2)2,3 战为[0，十0)，求解时就会得出加<号这一错联 (3)(-0.31),0.35 结果 题型3幂函数性质的综合应用 例⑦☑已知幂函数y=f(x)的图象经过点 (2,4),对于偶函数y=g(x)(x∈R),当x≥0 例5已知幂函数f(x)=(m2一5m十 时，g(x)=f(x)-2a 7)xm-1(m∈R)为偶函数. (1)求函数y=f(x)的解析式， (1)求f(号）的值 (2)求当x<0时，函数y=g(x)的解析 式，并在平面直角坐标系中画出函数y=g(x) (2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值. 的图象. 解析(1)由m2-5m十7=1，得m=2或3. (3)写出函数y=|g(x)川的单调递减区间. 当m=2时，f(x)=x3是奇函数，不满足题意， 解析(1)由题意设y=f(x)=x“, 故m=2舍去； 将点(2,4)代入，得4=2°，解得a=2. 当m=3时，f(x)=x4,满足题意， .f(x)=x2. f(x)=x4, (分)=()‘=16. (2)f(x)=x2, ∴.当x≥0时，g(x)=x2-2x. (2)由f(x)=x4为偶函数和f(2a十1)=f(a) 又y=g(x)是R上的偶函数， 可得2a十1=a, .当x<0时，一x>0,则g(x)=g（-x)= 即2a十1=a或2a十1=-a, (-x)2-2(-x)=x2+2x. 在平面直角坐标系中作出函数y=g(x)的图象， a=-1成a=子 如图1， ●变式2(2026·甘肃武威一中高一段 考)已知幂函数f(x)=(一2m2十m十2)xm+1 为偶函数 (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区 图1 图2 间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围. (3)作出函数y=|g(x)的图象，如图2. 114 第三章 函教的概念与性质么 由图象知，函数y=g(x)的单调递减区间是 易错警示 (-∞，-2]，[-1,0]和[1,2]. ●易错题22（错误率44%）若(a十 反思☐利用奇偶性求函数解析式，作出函数的图 象，进而通过图象得到函数的单调区间，一定要注意 1)<(3一2a)号，试求实数a的取值范围。 定义域优先，处理好关键点. 参考答案见《全书易错题集》第6页 03核心泰养聚焦一。 考向分类 教材P87信息技术应用中画出y=x3的 回归教材 考向1幂函数图象和性质的运用 图象的变式及拓展 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 例8（经典·陕西卷）函数y=x3的图象 核心素养 直观想象 素养水平水平二 是() 真题演练 1.(经典·陕西卷，考向1)下列函数中，既 是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 B.y=-x3 解机令y=f(x)=x, “f(-x)=(-x)=-x=-fx), C.y=1 D.y=xx x ∴函数是奇函数，图象关于原点对称 2.（经典·安徽卷改编，考向1)设a= 当0<x<1时，x>x; ,则a,b,c的大小关系是 当x>1时，x<x. ( 对照选项可知只有B项符合 A.a>c>b B.a>b>c 答案B C.c>a>b D.b>c>a 115