第3章 第2节 第2课时 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二课时　导数与函数的极值、最值 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(湘教版选择性必修②P41·T3改编)(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　 ) A．在区间(2,4)内单调递减 B．在区间(2,3)内单调递增 C．x＝－3是极小值点 D．x＝4是极大值点 答案：BD 2．(人教A版选择性必修②P91·例5改编)函数f(x)＝的极大值为(　 ) A．－e B． C．1 D.0 答案：B 3．(苏教版选择性必修①P215·T5改编)设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6. 答案：(2,6) 4．(苏教版选择性必修①P202·T3改编)若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________. 解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3)时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 答案：4 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(由极值求参数时忽略验证)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　 ) A．2 B． C．－2 D.－ 解析：选B　由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意． 2．(求最值时忽略端点值)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8， f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 答案：32 Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．解题时灵活应用转化以下几个关键点 (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)． (2)极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大． (3)有极值的函数一定不是单调函数． (4)f′(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点． 2．理清函数极值与最值的区别与联系 极值 最值 区别 (1)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得； (2)在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有 (1)最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；(2)最值最多有一个 联系 (1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得，必定是极值； (2)在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值，则这个极值就是最值 考法一　函数的极值 角度1　求已知函数的极值 [例1]　已知函数f(x)＝(a≠0)．求f(x)的单调区间与极值． [解]　f′(x)＝＝， 令g(x)＝－2ax2－(8a2－2)x＋8a，g(x)＝－2(ax－1)(x＋4a)＝0有两根x＝或x＝－4a. (1)当a>0时，f(x)与g(x)的情况如下： x (－∞，－4a) －4a g(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减 由表可知，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(－∞，－4a)，，极大值为f＝a2，极小值为f(－4a)＝－. (2)当a<0时，f(x)与g(x)