3.2.2 第2课时 双曲线的方程及性质的应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　双曲线的方程及性质的应用 [学习目标] 1.理解直线与双曲线的位置关系(重点).2.会求解有关弦长问题(难点)． 要点一　直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a>0，b>0)，②－ 将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a．当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 要点二　弦长公式 设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k， 则弦长|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝， 或|AB|＝|y1－y2| ＝(k≠0)． 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条．(　　) (2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　　) (3)当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切．(　　) (4)直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系．(　　) 解析 (1)错误．过A(1,0)作直线l与双曲线只有一个公共点，这样的直线可作3条．两条平行于渐近线，一条与双曲线相切． (2)正确．计算可知，直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点，分别是()．，－)和(－， (3)正确．当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线可能相交． (4)正确．通过画图易知直线和双曲线只有相交、相切、相离三种位置关系． 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 考点一　直线与双曲线的位置关系 规律总结 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 【例题1】 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，则k为何值时，下列条件成立？ (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解析 联立方程消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． (1)由，且k≠±1，<k<得－ 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (2)由，且k≠±1，得k＝± 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)由，或k>得k<－ 此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点． 【变式1】 已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k满足的条件． 解析 当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点； 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在． 考点二　弦长公式及中点弦问题 规律总结 双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 【例题2】 已知双曲线x2－＝1，问过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解析 假设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 由①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．③ 因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以 将④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)．⑥ 根据题意可得x1≠x2， 所以直线l的斜率k＝＝2. 所以若符合题设条件的直线l存在，则其方程为y＝2x－1. 而由得2x2－4x＋3＝0， 因为Δ＝－8＜0，所以所