第3章 第2节 第1课时 导数与函数的单调性（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二节　导数的简单应用 第一课时　导数与函数的单调性 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内为常数函数 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版选择性必修②P86·例1改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　 ) A．先增后减　　　 B．先减后增 C．增函数 D.减函数 解析：选D　∵当x∈(0，π)时，f′(x)＝－sin x－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数． 2．(人教B版选择性必修③P112·T8(1)改编)函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　 ) A. B． C. D.∪ 解析：选C　因为函数f(x)＝2x2－ln x，x>0，所以f′(x)＝4x－＝＝，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.故选C. 3.(湘教版选择性必修②P30·T1改编)导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　 ) 解析：选D　由题图可知当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合． 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(混淆函数的单调区间与函数在区间上单调) (1)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，则(　 ) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D.a∈(－∞，3] 解析：选B　由题意得f′(x)＝＋2x＋a<0的解集为，所以不等式2x2＋ax＋1<0的解集为，所以＋1＝－，解得a＝－3. (2)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax在区间上单调递减，则(　 ) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D.a∈(－∞，3] 解析：选A　由题意得f′(x)＝＋2x＋a≤0在区间上恒成立，即不等式a≤－2x－在区间上恒成立，令g(x)＝－2x－，易知g(x)在区间上单调递增，在上单调递减，又g＝g(1)＝－3，所以g(x)>－3，则a≤－3. 2．(求参数时忽略“＝”是否取到)若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 ) A. B． C. D.(－∞，2) 解析：选A　由f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若f(x)在区间(0,2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0,2)上恒成立，即a≥－在(0,2)上恒成立．令g(x)＝－，x∈(0,2)，则g′(x)＝＋>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)<－＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，＋∞)． Ⅲ.微点知能的优化拓展 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验． (3)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 考法一　判断不含参函数的单调性(自主练通) 1．(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)单调递增的函数是(　 ) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x－sin x C．f(x)＝xex D.f(x)＝ex－e－x 解析：选BD　对于A，由f(x)＝x4，得f′(x)＝4x3，当x<0时，f′(x)<0，则函数在(－∞，0)为减函数，所以A不合题意；对于B，由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝1－cos x≥