第3章 第3节 第1课时 技法先导——构造函数思想的应用（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三节　导数的综合应用 第一课时　技法先导——构造函数思想的应用 以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 角度1　构造y＝f(x)±g(x)型可导函数 [例1]　定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为__________． [解析]　由题意构造函数g(x)＝f(x)－x， 则g′(x)＝f′(x)－<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－＝， 由f(lg x)>，得f(lg x)－lg x>. 即g(lg x)＝f(lg x)－lg x>＝g(1)， 所以lg x<1，解得0<x<10. 所以原不等式的解集为(0,10)． [答案]　(0,10) [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 角度2　构造f(x)·g(x)型可导函数 [例2]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　 ) A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D.3f(－3)<2f(－2) (2)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>的解集为________． [解析]　(1)根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导函数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对任意的x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)． (2)构造F(x)＝f(x)·e2x，∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1，即F(x)>F(0)，∴x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)． [答案]　(1)A　(2)(0，＋∞) [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 角度3　构造型可导函数 [例3]　(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足∀x∈R，f′(x)>f(x)且f(1)＝e，则不等式f(ln x)>x的解集为(　 ) A．(e，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0，e) D.(0,1) (2)定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，则(　 ) A．8<<16 B．4<<8 C．3<<4 D.2<<3 [解析]　(1)令t＝ln x，则f(ln x)>x⇔f(t)>et，令g(x)＝，则g′(x)＝>0，∴g(x)在R上单调递增，∴f(t)>et⇔>1⇔g(t)>g(1)⇔t>1⇔ln x>1⇔x>e，故选A. (2)∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0， ∴′＝＝>0，令g(x)＝，∴g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，∴>， 又由2f(x)<3f(x)，得f(x)>0，即>4. ∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0， ∴′＝ ＝<0， 令h(x)＝，∴h(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，∴<，即<8. 综上，4<<8. [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“＝′”，构造可导函数y＝，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [针对训练] 1．设定义在R上的函数f(x)满足f