第3章 第3节 第2课时 题型精研——利用导数研究不等式恒(能)成立问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二课时　题型精研——利用导数研究不等式恒(能)成立问题

[典例]　已知函数f(x)＝.

(1)若函数f(x)在区间存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)－≥0恒成立，求实数k的取值范围．

(3)若∃x∈[1，e]，使不等式f(x)－≥0成立，求实数k的取值范围．

[解]　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＝－，

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，

所以0<a<1<a＋，

故<a<1，即实数a的取值范围为.

(2)原不等式可化为当x≥1时，

k≤恒成立，

令g(x)＝(x≥1)，

则g′(x)＝＝.

再令h(x)＝x－ln x(x≥1)，

则h′(x)＝1－≥0，

所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，

所以g(x)为增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，

故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]．

(3)原不等式可化为当x∈[1，e]时，k≤有解，

令g(x)＝(x∈[1，e])，

由(2)解题知，g(x)为增函数，

所以g(x)max＝g(e)＝2＋，所以k≤2＋，即实数k的取值范围是.

[方法技巧]

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.　　

[针对训练]

已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2－ax－4(a∈R)．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围．

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，

令f′(x)>0，得x>，令f′(x)<0，得0<x<，所以f(x)在单调递增，在单调递减；

所以当x＝时，f(x)取得极小值，且极小值为f＝ln＝－；无极大值．

(2)对任意x∈(0，＋∞)，f(x)>g(x)恒成立，即xln x>(－x2－ax－4)恒成立，

即－a<3ln x＋x＋在(0，＋∞)恒成立，

令h(x)＝3ln x＋x＋，则h′(x)＝，

令h′(x)<0，得0<x<1，令h′(x)>0，得x>1，

所以h(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．

所以h(x)min＝h(1)＝5，所以－a<5，即a>－5，故a的取值范围为(－5，＋∞)．

[典例]　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．若函数f(x)≥(a＋1)x－xex恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　f(x)≥(a＋1)x－xex恒成立，等价于xex－a(x＋ln x)≥0，

令h(x)＝xex－a(x＋ln x)(x>0)，h′(x)＝(x＋1)ex－a＝(x＋1)，

①若a＝0时，h′(x)＝(x＋1)ex>0，

所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，h(0)＝0，即h(x)>0，满足xex－a(x＋ln x)≥0，

②若a<0时，则－a>0，h′(x)>0，

所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，

当x→0＋时，h(x)→－∞，不成立，

故a<0不满足题意．

③若a>0时，令h′(x)＝0，则a＝xex，

∃x0∈(0，＋∞)，h(x0)＝0，a＝x0ex0，

x∈(0，x0)，h′(x)<0，h(x)单调递减，

x∈(x0，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增，

只需h(x)min＝h(x0)＝x0ex0－a(x0＋ln x0)＝x0ex0(1－x0－ln x0)≥0即可，

所以1－x0－ln x0≥0，即x0＋ln x0≤1，令m(x)＝x＋ln x(x>0)，

m′(x)＝1＋>0，所以m(x)在(0，＋∞)单调递增，m(1)＝1，所以x0∈(0,1]时，x0＋ln x0≤1，

y＝xex，y′＝(x＋1)ex>0，

所以y＝xex在(0,1]单调递增，所以xex∈(0，e]，即a＝x0ex0∈(0，e]，综上，a∈[0，e]．

[方法技巧]

根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题