第3章 第3节 第5课时 技法先导——双变量问题(含极值点偏移)（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第五课时　技法先导——双变量问题(含极值点偏移)

[典例]　已知函数f(x)＝x2＋(x－1)ex.

(1)求f(x)的极值；

(2)当x2>x1≥1时，求证：>.

[解题微点]

[解]　(1)函数f(x)＝x2＋(x－1)ex定义域为R，求导得f′(x)＝2x＋ex＋(x－1)ex＝x(ex＋2)，由f′(x)＝0得x＝0，

当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，

所以当x＝0时，f(x)取极小值f(0)＝－1，无极大值．

(2)证明：因x2>x1≥1，有x1－x2<0，>⇔f(x1)－f(x2)<＝－⇔f(x1)＋<f(x2)＋，

令g(x)＝f(x)＋＝x2＋(x－1)ex＋(x≥1)，求导得g′(x)＝2x＋xex－，

当x≥1时，2x＋xex＝x(2＋ex)≥2＋e>4,0<≤4，即2x＋xex－>0，则g′(x)>0，

因此，g(x)在[1，＋∞)单调递增，当x2>x1≥1时，g(x2)>g(x1)，即f(x1)＋<f(x2)＋，

所以当x2>x1≥1时，>成立．

[方法技巧]

对于双变量不等式问题，我们先令x1<x2，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为g(x)，问题也就转化成了g(x)

的单调性问题．　　

[针对训练]

已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1.

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.

解：(1)∵当a＝2时，f(x)＝3ln x＋2x2＋1，

∴f(1)＝3，切点为(1,3)，

求导f′(x)＝＋4x，切线斜率k＝f′(1)＝7.

∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝7x－4.

(2)证明：∵a≤－2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导f′(x)＝＋2ax＝<0，

∴f(x)在(0，＋∞)单调递减．

不妨假设x1≥x2，∴|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2.

即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.

令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.

∵a≤－2，x>0，∴g′(x)≤＝<0.

从而g(x)在(0，＋∞)单调递减，故g(x1)≤g(x2)，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，

故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.

[典例]　已知函数f(x)＝ln x－.

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，求a的取值范围；

(2)设m>n>0，求证：<.

[解题微点]

[解]　(1)f′(x)＝－＝＝，

因为f(x)在(0，＋∞)为增函数，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立，

即x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)恒成立，

当x∈(0，＋∞)时，由x2＋(2－2a)x＋1≥0，

得2a－2≤x＋，设g(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)，

则g(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，

即x＝1时取等号，g(x)有最小值2，

所以2a－2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．

(2)证明：设m>n>0，要证<，只需证<，

即ln>，即ln－>0，

设h(x)＝ln x－，

由(1)知h(x)在(1，＋∞)是增函数，又>1，

所以h>h(1)＝0，即ln－>0成立，得到<.

[方法技巧]

换元法是最核心、最常见的方法．就是将式子齐次化，化成形如f或f(x1－x2)