第3章 第3节 第4课时 题型精研——利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四课时　题型精研——利用导数研究函数的零点问题

[典例]　(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋aln x(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a<e时，讨论f(x)的零点个数.

[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝(x－2)ex＋x－ln x，

则f′(x)＝(x－1)，当x∈(0，＋∞)时，ex＋>0恒成立，

所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

即f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．

(2)由题意，函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋aln x＝(x－2)ex－a(x－ln x)，x>0，

设m(x)＝x－ln x，x>0，则m′(x)＝1－＝，

当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，

又由m(1)＝1，所以m(x)≥1，

令f(x)＝0，可得(x－2)ex－ax＋aln x＝0，所以a＝(x>0)，

令g(x)＝，可得g′(x)＝，

令h(x)＝x－ln x＋－1，则h′(x)＝1－－＝＝(x>0)，

可得0<x<2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；x>2时，h′(x)>0，h(x)单调递增；

所以h(x)min＝h(2)＝2－ln 2>0，即x>0时，h(x)>0恒成立；

故0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

所以g(x)min＝g(1)＝－e，

又由x→0时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，

函数g(x)的图象，如图所示，

结合图象可得，

当a<－e时，无零点；

当a＝－e或0≤a<e时，一个零点；

当－e<a<0时，两个零点．

[方法技巧]

利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法

(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等；

(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置；

(3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现．　　

[针对训练]

(2023·四川石室中学模拟)已知函数f(x)＝ln x－.

(1)分别求n＝1和n＝2时函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)的零点个数．

解：(1)由已知，得f(x)＝ln x－.

①当n＝1时，f(x)＝ln x－(x－1)，f′(x)＝－1.

由f′(x)＝－1>0，得0<x<1；

由f′(x)＝－1<0，得x>1.

因此，当n＝1时，函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．