第10章 第3节 随机抽样与用样本估计总体（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　随机抽样与用样本估计总体 1.理解随机抽样的必要性和重要性.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法. 2.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点. 3.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 4.能从样本数据中提取基本的数字特征平均数、标准差，并作出合理的解释. 5.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 6.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样． (2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样 (1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． ①先将总体的N个个体编号； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本． 4．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 5．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 6．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 7．众数、中位数、平均数 定义 特点 众数 在一组数据中出现次数最多的数 体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且可能不止一个 中位数 将一组数据按大小顺序依次排列(相同的数据要重复列出)，处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数) 中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间位置的数据的信息，只有一个 平均数 一组数据的算术平均数 与每一个样本数据有关，只有一个 8．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ . (2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)． (1)简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样． (2)利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整各层容量，即先剔除各层中“多余”的个体． (3)平均数的性质 ①若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b. ②若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M＋N)个数的平均数是. ③若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是和，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数是＋. (4)方差的性质 若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的第一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性． 1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，则该组数据的平均数、中位数和众数的大小关系是(　 ) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．平均数＝中位数＝众数 答案：D 2．如图是60名学生参加数学竞赛的成绩(均为整数)的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率(60分及以上为及格)是(　 ) A．75% B．25% C．15% D．40% 答案：A 3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为(　 ) A．0