第10章 阶段综合·融会建模 习题课 概率与统计的综合问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课——概率与统计的综合问题 题型一　统计与概率相结合 [典例]　某中学为了激发学生对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛．高一和高二年级各有10名参赛选手，得分不低于90分的选手可获奖．各参赛选手比赛得分的茎叶图如图所示． (1)从平均分来看，高一和高二哪个年级的得分更高？并说明理由． (2)从获奖的参赛选手中任选2名参加市区举行的天文知识比赛，求选出的2名参赛选手来自同一个年级的概率． [解]　(1)设高一高二年级参赛选手得分的平均分分别为，， 则＝(77＋77＋78＋82＋84＋85＋92＋93＋95＋96)＝85.9， ＝(79＋79＋76＋75＋88＋83＋82＋81＋97＋93)＝83.3， 因为＞，所以从平均分来看，高一年级的得分更高． (2)因为得分不低于90分的选手可获奖，所以由茎叶图可知，高一年级有4名选手获奖，高二年级有2名选手获奖， 记高一年级的4名选手为A1，A2，A3，A4，高二年级的2名选手为B1，B2， 从这6名选手中选取2名的所有情况为A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，共15种情况， 选出的2名选手来自同一个年级的有A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，B1B2，共7种情况， 设事件A表示“选出的2名参赛选手来自同一个年级”，所以P(A)＝. [方法技巧] (1)概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算． (2)在求解该类问题时要注意两点： ①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率． ②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成． [针对训练] 为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2 000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分(满分：100分)，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数； (2)先从得分在[60,80)的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率． 解：(1)由频率分布直方图可知，[70,80)的频率最大，则众数为75分； ∵[60,70)，[70,80)，[80,90]的频率分别为0.2,0.4,0.2， 设中位数为x，则x∈[70,80)， 由题意可得0.04×(80－x)＋0.2＝0.5，解得x＝72.5， 故中位数为72.5分． (2)因为[60,70)，[70,80)人数之比为1∶2， 所以[60,70)应抽取2人，设为A，B，[70,80)应抽取4人，设为C，D，E，F，这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下： AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF， 其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种， 故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率P＝＝. 题型二　概率与回归分析相结合 [典例]　(2022·绵阳模拟)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b，c为大于0的常数)．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302，0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 　　(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； (2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表： (ln xi·ln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)2 75.3 24.6 18.3 101.4 根据所给统计量，求y关于x的回归方程． [解]　(1)由已知，优等品的质量与尺寸的比∈(0.302，0.388)， 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a，b，c，有3件为非优等品，记为d，e，f. 现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d