第10章 第4节 变量间的相关关系与统计案例（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　变量间的相关关系与统计案例 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程线性回归方程系数公式不要求记忆. 3.了解回归分析的思想、方法及其简单应用. 4.了解独立性检验的思想、方法及其初步应用. 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程为＝x＋，其中 ＝＝，＝－. (3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数：r＝. 当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 (1)假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)． (2)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (1)求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本点的中心(，)． (2)根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． (3)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大． 1．下面是一个2×2列联表： y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 总计 b 46 120 其中a，b处填的值分别为(　 ) A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 答案：C 2．已知y与x的回归方程为＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时，y平均(　 ) A．增加1.5个单位 B．增加2个单位 C．减少1.5个单位 D．减少2个单位 解析：选C　若x变为x＋1，则＝2－1.5x－1.5，所以y平均减少1.5个单位．故选C. 3．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1 000)，利用2×2列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查阅临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是(　 ) A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病 C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 解析：选C　由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．故选C. 4．已知x，y之间的数据见下表，线性回归方程为＝x＋，则(　 ) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 A.>0，<0 B.>0，>0 C.<0，<0 D.<0，>0 解析：选A　画出散点图如图，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，可知<0，>0.故选A. 5．假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的线性回归方程为＝0.81x＋25.82，已知父亲的身高175 cm，则估计女儿的身高为__________cm. 解析：由题意，当x＝175时，＝0.81×175＋25.82＝167.57 cm. 答案：167.57 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　相关关系的判断　 [题点全训] 1．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是(　 ) A．回归分析和独立性检验没有什么区别 B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系 C．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验 D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系 解析：选C　回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系，通过回归分析预测和估计两个