第8章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　空间点、直线、平面的位置关系 1.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.) 1．公理1～3 文字语言 图形语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2．公理2的三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 3．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： (2)异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)公理4和等角定理 ①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． (1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． (2)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． (3)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (4)异面直线的2个结论 ①平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面． 1．下列命题是真命题的是(　 ) A．空间不共线的三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：A 2．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　 ) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 答案：D 3．直线l与平面α不平行，则(　 ) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 答案：C 4．三个平面最多能把空间分为____部分，最少能把空间分成____部分． 答案：8　4 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　平面的性质及应用　 [题点全训] 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　 ) 解析：选D　A、B、C图中四点一定共面，D中四 点不共面． 2．给出以下说法，其中正确的是(　 ) A．不共面的四点中，其中任意三点可以共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 解析：选D　在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A不正确； 在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，B不正确； 选项C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，D正确． 3.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设FG与HE交于点P，求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)在△ABD中，∵E，F为AD，AB中点，∴EF∥BD.在△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面． (2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC.∴P，A，C三点共线． [一“点”就过] 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余