第8章 第4节 直线、平面垂直的判定与性质（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题. 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角α的范围：[0，π]． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α (1)两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)三种垂直关系的转化 1．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是(　 ) A．α⊥β且m⊂β B．α⊥β且m∥β C．α∥β且m⊥β D．m⊥n且n∥α 解析：选C　对于A，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故A不能判断．对于B，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故B不能判断．对于C，由于一条直线m垂直于两个平行平面中的一个，那么直线m也垂直于另一个平面，故C正确．对于D，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故D不能判断．综上所述，选C. 2．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　 ) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案：D 3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对. 答案：7 4．若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________. 答案：45° 5．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案：(1)外　(2)垂 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　与线、面垂直有关命题的判定　 [题点全训] 1．(2022·太原三模)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是(　 ) A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β 解析：选D　对A，若m∥n，m∥α，n∥β，则α，β平行或相交，故A错误；对B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行或异面，故B错误；对C，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β平行或相交，故C错误；对D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D正确． 2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　 ) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 解析：选C　由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意． 3.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在(　 ) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 解析：选A　因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上． 4．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1