第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 1．直线与圆的位置关系 设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2．圆与圆的位置关系 设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的关系 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 公切线条数 4 3 2 1 0 1．牢记3个相关结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 3．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝.　 (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 4．求过一定点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系． (1)若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； (2)若点在圆外，切线应有两条； (3)若点在圆内，切线为零条． 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　 ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案：B 2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　 ) A. B．2 C. D．2 解析：选D　直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，所以所求弦长为2×＝2. 3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________． 答案：内切 4．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1, )处的切线方程为__________． 答案：x－y＋2＝0 5．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________． 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB的斜率等于＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　直线与圆的位置关系的判断　 [题点全训] 1．(2022·青岛二模)在平面直角坐标系中，直线l为双曲线x2－y2＝1的一条渐近线，则(　 ) A．直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相交 B．直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相切 C．直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相离 D．直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相切 解析：选D　显然，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设直线l：x－y＝0，则圆心(2,0)到l的距离d＝＝＞1，所以，直线l与圆(x－2)2＋y2＝1相离，与圆(x－2)2＋y2＝2相切． 2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　 ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：选B　易知a2＋b2＞1，故d＝＜1，故直线与圆相交，故选B. 3．(2021·新高考Ⅱ卷改编)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法不正确的是(　 ) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选C　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，A正确；选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝>|